東北大学 1998年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

${\frac{1}{a _{n}}}$ は，初項 $\frac{1}{a}$ ，公差 $d$ の等差数列とする．このとき， $n \to \infty lim (a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots\dots + a_{n} a_{n + 1})$ を求めよ．

出典：東北大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

逆数列を具体的に $1/ a_{n} = 1/ a + (n - 1) d$ と書き、隣り合う逆数の差から $a_{n} a_{n + 1}$ を $a_{n} - a_{n + 1}$ の形に直す。すると和が望ましい形で消える。 $d = 0$ では同じ変形が使えないため、定数列として別に扱う。

解答

逆数列が初項 $1/ a$ 、公差 $d$ の等差数列であるから $\frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{a} + (n - 1) d$ である。まず $d \neq = 0$ の場合を考える。このとき $\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = d$ である。左辺を通分すると $\frac{a _{n} - a _{n + 1}}{a _{n} a _{n + 1}} = d$ なので $a_{n} a_{n + 1} = \frac{a _{n} - a _{n + 1}}{d}$ である。したがって部分和は

a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1} = \frac{1}{d} {(a_{1} - a_{2}) + (a_{2} - a_{3}) + \dots + (a_{n} - a_{n + 1})} = \frac{a _{1} - a _{n + 1}}{d}

となる。

ここで $d \neq = 0$ なら $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a} + n d$ の絶対値は $n$ とともに大きくなるので、 $a_{n + 1} \to 0$ である。よって

n \to \infty lim (a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1}) = \frac{a _{1}}{d} = \frac{a}{d}

である。

一方 $d = 0$ のときは $1/ a_{n} = 1/ a$ であり、すべての $n$ について $a_{n} = a$ である。したがって部分和は $n a^{2}$ となり、有限な極限は存在しない。

東北大学 1998年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

東北大学 1998年度
後期・理系数学後期第3問