問題
空間において，2点
を考える．ただしとする．であるに対して線分と平面との交点をとする．
(1) をから1まで動かすとき，の動く範囲をで表せ．
(2) の座標をとの式で表せ．
(3) をから1まで動かすとき，線分が動いてできる図形と2平面，とで囲まれる部分の体積を求めよ．
出典：東北大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
線分 上の点を、 から への内分比で表す。 となる比は なので、 と の式が得られる。体積は、固定した での断面を 方向に足し上げ、その断面積を で積分する。 に戻すと、必要な計算は と指数関数の偶対称な積分に分かれる。
解答
(1)
線分 上の点を と表す。 座標は である。これが に等しいので である。したがって 座標は となる。 より である。
(2)
(1)と同じ を用いると、 座標は
である。 だから であり、
である。
(3)
では であり、また は で最大値を端点 でとる。したがって(2)の は0以下であり、平面 との間の高さは である。
固定した における断面積を とすると、 である。ここで と戻すと であり、
必要な積分は および
である。よって となる。
求める体積は であるから
である。