東北大学 1998年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

行列 $A = (4 a + 1 4 b 4 c - 1)$ において $a$ ， $b$ ， $c$ はすべて整数であり， $A^{2} = E$ （ $E$ は単位行列）とする．

(1) $b$ および $c$ を $a$ の式で表せ．

(2) 行列 $P = (p r q s)$ が存在して， $A P = P (10 0 - 1)$ が成り立つとき，行列 $P$ の成分を $a$ の式で表せ．ただし， $p$ ， $q$ ， $r$ ， $s$ はすべて整数で $p s - q r = 1$ とする．

出典：東北大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は $A^{2} = E$ を成分比較し、下左成分から $c = - a$ 、上左成分から $b = - 2 a (2 a + 1)$ を得る。(2)では $A P = P (10 0 - 1)$ を列ごとに読み、第1列 $u$ は $A u = u$ 、第2列 $v$ は $A v = - v$ を満たすとして直接連立一次方程式を解く。最後に $p s - q r = 1$ から整数倍率を決める。

解答

(1)

A = (4 a + 1 4 b 4 c - 1)

である。 $A^{2} = E$ の左下成分を比べると $4 (4 a + 1) + 4 (4 c - 1) = 0$ であるから $16 a + 16 c = 0, c = - a$ を得る。次に左上成分を比べると $(4 a + 1)^{2} + 4 b = 1$ である。よって $16 a^{2} + 8 a + 4 b = 0$ となり、 $b = - 4 a^{2} - 2 a = - 2 a (2 a + 1)$ である。

(2)

(1)より

A = (4 a + 1 4 - 2 a (2 a + 1) - 4 a - 1)

である。 $P$ の第1列を $(r p)$ 、第2列を $(s q)$ とする。条件

A P = P (10 0 - 1)

は、列ごとに $A (r p) = (r p), A (s q) = - (s q)$ を意味する。

まず $A (r p) = (r p)$ を考える。下の成分から $4 p + (- 4 a - 1) r = r$ すなわち $4 p = (4 a + 2) r$ である。したがって整数 $m$ を用いて $(r p) = m (2 2 a + 1)$ と表せる。

次に $A (s q) = - (s q)$ を考える。下の成分から $4 q + (- 4 a - 1) s = - s$ であるから $4 q = 4 a s$ となる。したがって整数 $n$ を用いて $(s q) = n (1 a)$ と表せる。

よって

P = (m (2 a + 1) 2 m na n)

である。この行列式は $p s - q r = mn ((2 a + 1) - 2 a) = mn$ である。条件 $p s - q r = 1$ より $mn = 1$ であり、整数 $m, n$ については $(m, n) = (1, 1), (- 1, - 1)$ の2通りである。したがって

P = (2 a + 1 2 a 1) または P = - (2 a + 1 2 a 1)

である。

東北大学 1998年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1998年度
後期・理系数学後期第1問