東北大学 1998年度後期・文系数学後期第4問b 解答・解説

問題

$n$ は2以上の自然数とする．

(1) 数列 $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n + 1}$ において， $2 ≦ j ≦ n$ を満たすすべての $j$ に対して，不等式

(A) a_{j} ≧ \frac{a _{j - 1} + a _{j + 1}}{2}

が成り立つとき， $2 ≦ k ≦ n$ を満たすすべての $k$ に対して，不等式

(B) a_{k} ≧ \frac{a _{1} + ( k - 1 ) a _{k + 1}}{k}

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

(2) $1 ≦ j ≦ n + 1$ を満たす $j$ に対して， $b_{j} = 1 + \frac{j - 1}{n ( n - 1 )}$ とし， $a_{j} = lo g_{2} b_{j}$ とすると，数列 $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n + 1}$ は不等式(A)を満たすことを示せ．

(3) 次の不等式が成り立つことを示せ．

(1 + \frac{1}{n})^{n} ≧ (1 + \frac{1}{n - 1})^{n - 1}

出典：東北大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問b

方針

(1)は命題(B)を $k = 2$ から始め、 $k$ での成立と(A)の $j = k + 1$ 付近の不等式を組み合わせて $k + 1$ へ進める。(2)は $b_{j}$ が正の等差数列であることから $b_{j}^{2} - b_{j - 1} b_{j + 1}$ を直接計算し、対数を取って(A)に直す。(3)は(1)(2)を $k = n$ に適用し、 $b_{n}$ , $b_{n + 1}$ の具体値へ戻す。

解答

(1)

$k = 2$ のとき、(B)は $a_{2} ≧ \frac{a _{1} + a _{3}}{2}$ であり、これは(A)そのものである。

次に、ある $k$ について(B)が成り立つと仮定する。すなわち $a_{k} ≧ \frac{a _{1} + ( k - 1 ) a _{k + 1}}{k}$ である。これを変形すると $a_{1} ≦ k a_{k} - (k - 1) a_{k + 1}$ である。また(A)を $j = k + 1$ に用いると $a_{k + 1} ≧ \frac{a _{k} + a _{k + 2}}{2}$ すなわち $a_{k} + a_{k + 2} ≦ 2 a_{k + 1}$ である。したがって

a_{1} + k a_{k + 2} ≦ k a_{k} - (k - 1) a_{k + 1} + k a_{k + 2} = k (a_{k} + a_{k + 2}) - (k - 1) a_{k + 1} ≦ 2 k a_{k + 1} - (k - 1) a_{k + 1} = (k + 1) a_{k + 1}

となる。よって $a_{k + 1} ≧ \frac{a _{1} + k a _{k + 2}}{k + 1}$ であり、 $k + 1$ について(B)が成り立つ。数学的帰納法により、 $2 ≦ k ≦ n$ のすべてで(B)が成り立つ。

(2)

$b_{j} = 1 + (j - 1) / (n (n - 1))$ は正の等差数列であり、公差を $d = 1/ (n (n - 1))$ とおくと $b_{j - 1} = b_{j} - d, b_{j + 1} = b_{j} + d$ である。したがって $b_{j}^{2} - b_{j - 1} b_{j + 1} = b_{j}^{2} - (b_{j} - d) (b_{j} + d) = d^{2} > 0$ である。よって $b_{j}^{2} ≧ b_{j - 1} b_{j + 1}$ である。すべての $b_{j}$ は正なので、底が1より大きい対数 $lo g_{2}$ を取ると不等号の向きは変わらず、 $2 lo g_{2} b_{j} ≧ lo g_{2} b_{j - 1} + lo g_{2} b_{j + 1}$ となる。 $a_{j} = lo g_{2} b_{j}$ だから $a_{j} ≧ \frac{a _{j - 1} + a _{j + 1}}{2}$ であり、(A)を満たす。

(3)

(1)(2)より、 $k = n$ として $a_{n} ≧ \frac{a _{1} + ( n - 1 ) a _{n + 1}}{n}$ が成り立つ。ここで $b_{1} = 1$ なので $a_{1} = lo g_{2} 1 = 0$ である。したがって $n a_{n} ≧ (n - 1) a_{n + 1}$ である。

また $b_{n} = 1 + \frac{n - 1}{n ( n - 1 )} = 1 + \frac{1}{n}$ であり、 $b_{n + 1} = 1 + \frac{n}{n ( n - 1 )} = 1 + \frac{1}{n - 1}$ である。ゆえに

n lo g_{2} (1 + \frac{1}{n}) ≧ (n - 1) lo g_{2} (1 + \frac{1}{n - 1})

となる。底が1より大きい指数関数に戻せば $(1 + \frac{1}{n})^{n} ≧ (1 + \frac{1}{n - 1})^{n - 1}$ が得られる。

東北大学 1998年度後期・文系数学 後期 第4問b

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1998年度
後期・文系数学後期第4問b