東北大学 1998年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

空間に4点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ があり，

O A = (2, 2, 2), O B = (a, - 2, 1), O C = (x, y, z)

とする． $O C$ は $O A$ および $O B$ と直交し， $O C$ の大きさは $l$ である．また， $A C$ と $B C$ は直交する．

(1) $l$ を $a$ で表せ．

(2) $l = 1$ が成り立つときの $O C$ を求めよ．

出典：東北大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

$O C$ が $O A$ , $O B$ の両方に垂直であることを使い、 $A C \cdot B C = 0$ を展開して $l^{2}$ と $a$ を結びつける。 $l = 1$ の場合はまず $a$ を決め、次に連立一次方程式から $O C$ の方向を求め、長さ1になるように正規化する。

解答

(1)

$O A = (2, 2, 2)$ , $O B = (a, - 2, 1)$ , $O C = (x, y, z)$ とする。条件より

O C \cdot O A = 0, O C \cdot O B = 0

である。また $A C ⊥ B C$ だから

(O C - O A) \cdot (O C - O B) = 0

である。左辺を展開すると

∣ O C ∣^{2} - O C \cdot O B - O A \cdot O C + O A \cdot O B = 0

となる。中央の2項は0なので $l^{2} + O A \cdot O B = 0$ である。ここで $O A \cdot O B = 2 a - 4 + 2 = 2 a - 2$ だから $l^{2} = 2 - 2 a$ である。

(2)

$l = 1$ のとき、(1)より $1 = 2 - 2 a$ であるから $a = \frac{1}{2}$ である。このとき $O B = (1/2, - 2, 1)$ である。 $O C = (x, y, z)$ は $O A$ , $O B$ に垂直なので $x + y + z = 0$ および $\frac{1}{2} x - 2 y + z = 0$ を満たす。これを解くと、方向は $(x, y, z) = t (6, - 1, - 5)$ と表せる。長さが1であるから $∣ t ∣ 6^{2} + (- 1)^{2} + (- 5)^{2} = ∣ t ∣ 62 = 1$ であり、 $t = \pm \frac{1}{62}$ である。したがって

O C = \frac{1}{62} (6, - 1, - 5) または O C = - \frac{1}{62} (6, - 1, - 5)

である。

東北大学 1998年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1998年度
後期・文系数学後期第1問