問題
赤，黄，緑の色紙があり，同じ色の色紙は区別しないものとする．
(1) 重複を許すものとして合計6枚をとるとき，何通りの選び方があるか．
(2) 上記3種の色紙からそれぞれ2枚ずつとってきて立方体の各面に1枚ずつ貼（は）るとする．このとき異なる配色をもつ立方体はいくつ作れるか．略図を描いて答えよ．ただし，回転によって同じ配色となるものは同じとみなす．
方針
(1)は6枚を赤・黄・緑に何枚ずつするかを非負整数解として数える。(2)は6面を区別した配色をまず数え、立方体の24個の回転で同じになるものをまとめる。各回転で動かない配色を、面の入れ替わり方ごとに数え、最後に24で割る。90度回転や120度回転では同じ色が4枚または3枚必要になるため固定配色がないことを明示する。
解答
(1)
赤、黄、緑の紙をそれぞれ 枚使うとする。6枚を選ぶので である。この非負整数解の個数は である。
(2)
まず立方体の6面を区別して考える。赤・黄・緑を2面ずつ貼る方法は 通りである。ここから回転で同じになるものを同一視する。
立方体の回転は24個ある。それぞれの回転で、色の配置が変わらないものを数える。恒等回転では、すべての配色が動かないので90通りである。
向かい合う面の中心を通る軸の180度回転は3個ある。このとき面の動きは、固定される2面と、入れ替わる2組の面に分かれる。入れ替わる2組はそれぞれ同じ色でなければならない。固定される2面も、残った1色を1枚ずつ置く必要があるので、色の決め方は 通りである。
向かい合う辺の中点を通る軸の180度回転は6個ある。このとき6面は3組の入れ替わる面に分かれる。各組は同じ色でなければならず、3色を3組に割り当てるので 通りである。
90度回転では4つの面が一巡するため、固定されるには同じ色が4枚必要になるが、各色は2枚ずつしかない。したがって固定配色はない。頂点を通る軸の120度回転でも3面ずつの組ができ、同じ色が3枚必要になるので固定配色はない。
よって固定される配色の総数は である。同じ配色は24個の回転で数え直されるので、求める個数は である。