東北大学 1998年度
後期・文系数学 後期 第3問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 関数、図形と方程式
- 解法
- 絶対値の処理、グラフの概形、場合分け
- 難易度
- 7 / 10 計算量 7 / 10 目安 28分
問題
実数kの値が変わるとき，放物線y=x2+kと曲線y=∣x(x2−1)∣との共有点の個数を求めよ．
出典：東北大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
共有点は k=∣x(x2−1)∣−x2 の水平線との交点数で決まる。x(x2−1) の符号が変わる −1,0,1 で区間を分け、各区間で3次式の増減と端点値を調べる。内側2区間で最大値 5/27、端点で −1,0 が出るため、−1,0,5/27 を境に個数を整理する。
解答
共有点は x2+k=∣x(x2−1)∣ を満たす実数 x の個数である。したがって k=∣x(x2−1)∣−x2 とおき、この関数の水平線との交点数を数えればよい。 x(x2−1) の符号により、次の4区間に分ける。
∣x(x2−1)∣−x2=⎩⎨⎧−x3−x2+x,x3−x2−x,−x3−x2+x,x3−x2−x,x≦−1,−1≦x≦0,0≦x≦1,x≧1.
外側の区間 x≦−1, x≧1 では、それぞれ端点で値 −1 をとり、外へ向かうと値は大きくなる。したがって k=−1 で各端点に1個、k>−1 で外側に合計2個の交点がある。
内側の区間を調べる。−1≦x≦0 では h1(x)=x3−x2−x であり、h1′(x)=3x2−2x−1=(3x+1)(x−1) だから、x=−1/3 で最大値をとる。その値は h1(−31)=275 である。また端点では h1(−1)=−1, h1(0)=0 である。0≦x≦1 でも同様に h2(x)=−x3−x2+x が x=1/3 で最大値 5/27 をとり、端点では h2(0)=0, h2(1)=−1 である。
以上を合わせると、共有点の個数は次の通りである。
kの範囲k<−1k=−1−1<k<0k=00<k<275k=275k>275共有点の個数0245642
k=0 で5個になるのは、x=0 が左右の内側区間の共通端点として1回だけ数えられるためである。
