東北大学 1998年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

$△ A B C$ において，正の数 $r$ があり， $r = \frac{sin B}{sin A} = \frac{sin C}{sin B}$ が成り立っている．

(1) $r^{3} cos A + r^{2} cos B + r cos C$ を $r$ の式で表せ．

(2) $cos A$ ， $cos B$ ， $cos C$ を $r$ の式で表せ．

出典：東北大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

正弦定理により、角 $A, B, C$ の対辺の比を $1 : r : r^{2}$ と置く。そこから余弦定理で $cos A, cos B, cos C$ をそれぞれ $r$ の式にする。(1)は代入後に分母をそろえて整理し、(2)では同じ式をそのまま答える。辺の置き方を明示して、どの角に対応する余弦かを取り違えないように進める。

解答

角 $A, B, C$ の対辺の長さをそれぞれ $α, β, γ$ とする。正弦定理より

\frac{sin B}{sin A} = \frac{β}{α} = r, \frac{sin C}{sin B} = \frac{γ}{β} = r

である。したがって、辺の比を $α : β : γ = 1 : r : r^{2}$ とおける。以下、 $α = 1$ , $β = r$ , $γ = r^{2}$ として計算する。

余弦定理より

cos A = \frac{β ^{2} + γ ^{2} - α ^{2}}{2 β γ} = \frac{r ^{2} + r ^{4} - 1}{2 r ^{3}}

である。同様に

cos B = \frac{γ ^{2} + α ^{2} - β ^{2}}{2 γ α} = \frac{r ^{4} + 1 - r ^{2}}{2 r ^{2}}

であり、

cos C = \frac{α ^{2} + β ^{2} - γ ^{2}}{2 α β} = \frac{1 + r ^{2} - r ^{4}}{2 r}

である。

(1)

上の式を代入すると

r^{3} cos A = \frac{r ^{4} + r ^{2} - 1}{2}, r^{2} cos B = \frac{r ^{4} - r ^{2} + 1}{2}, r cos C = \frac{1 + r ^{2} - r ^{4}}{2}

である。これらを加えると $r^{3} cos A + r^{2} cos B + r cos C = \frac{r ^{4} + r ^{2} + 1}{2}$ となる。

(2)

求める値は

cos A = \frac{r ^{4} + r ^{2} - 1}{2 r ^{3}}, cos B = \frac{r ^{4} - r ^{2} + 1}{2 r ^{2}}, cos C = \frac{1 + r ^{2} - r ^{4}}{2 r}

である。実際に三角形が存在する $r$ の範囲では、辺 $1, r, r^{2}$ が三角不等式を満たしており、上の余弦定理の式がそのまま対応する。

東北大学 1998年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1998年度
後期・文系数学後期第2問