東北大学 1998年度文系数学前期第4問b 解答・解説

問題

実数の数列 ${a_{n}}$ が

a_{3 n} = a_{n}, a_{n + 5} = a_{n},

a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 4, a_{1} a_{3} a_{5} = 8

を満たすとき，

(1) $a_{1}$ ， $a_{5}$ の値を求めよ．

(2) 数列の和 $a_{1} + a_{2} + \dots\dots + a_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1998年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問b

方針

$a_{n + 5} = a_{n}$ から数列は周期5で決まる。さらに $a_{3 n} = a_{n}$ を5で割った余りに注目して使うと，余り $1, 2, 3, 4$ に対応する項がすべて等しいことが分かる。これを $x$ ，余り0の項を $y$ と置き，和と積の条件から $x, y$ を決定する。最後は周期5の和として部分和を表す。

解答

(1)

$3$ は5を法として巡回するので $a_{1} = a_{3} = a_{4} = a_{2}$ である。これを $x$ とし、 $a_{5} = y$ とおくと $4 x + y = 4, x^{2} y = 8$ である。これを解くと $x = - 1, y = 8$ である。したがって $a_{1} = - 1, a_{5} = 8$ である。

(2)

数列は周期5で $- 1, - 1, - 1, - 1, 8$ を繰り返す。 $n = 5 q + r (0 ≦ r ≦ 4)$ と書くと、1周期の和は4であり、余りの部分は $- r$ である。よって $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 4 q - r$ である。 $3$ を5で割った余りで掛けていくと $1 \to 3 \to 4 \to 2 \to 1$ と循環する。したがって $a_{1} = a_{3} = a_{4} = a_{2}$ である。この共通値を $x$ ， $a_{5}$ を $y$ とすれば $4 x + y = 4, x^{2} y = 8$ である。 $y = 4 - 4 x$ を代入すると $x^{2} (4 - 4 x) = 8$ すなわち $x^{3} - x^{2} + 2 = 0.$ これは $(x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ で，実数解は $x = - 1$ だけである。よって $y = 8$ である。

部分和では，1周期 $- 1, - 1, - 1, - 1, 8$ の和が $4$ である。 $n = 5 q + r (0 ≦ r ≦ 4)$ と書けば，余り部分は $- 1$ が $r$ 個なので $\sum_{j = 1}^{n} a_{j} = 4 q - r$ となる。

東北大学 1998年度文系数学 前期 第4問b

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1998年度
文系数学前期第4問b