東北大学 1998年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

$0 < a < b$ とし， $m$ ， $n$ を自然数とする．

f (m) = lo g \frac{a ^{m} + b ^{m}}{2}, g (m) = \frac{lo g ( a ^{m} ) + lo g ( b ^{m} )}{2}

とする．このとき

f (m + n), f (m) + f (n), g (m + n), g (m) + g (n)

の大きさの順に並べよ．ただし，対数は常用対数とする．

出典：東北大学 1998年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

$f (m)$ は $a^{m}, b^{m}$ の相加平均の対数， $g (m)$ は幾何平均の対数である。まず $g (m + n) = g (m) + g (n)$ を直接確認する。次に $f (m) > g (m)$ は相加平均と幾何平均の大小で示し，最後に $f (m + n) > f (m) + f (n)$ は対数を外して正数の不等式に戻し，展開差を $(b^{m} - a^{m}) (b^{n} - a^{n})$ に因数分解する。

解答

まず $g (m + n) = \frac{l o g a ^{m + n} + l o g b ^{m + n}}{2} = g (m) + g (n)$ である。また相加平均は幾何平均より大きいので $f (m) > g (m), f (n) > g (n)$ であり、したがって $f (m) + f (n) > g (m + n) = g (m) + g (n)$ である。

さらに $\frac{a ^{m + n} + b ^{m + n}}{2} > \frac{( a ^{m} + b ^{m} ) ( a ^{n} + b ^{n} )}{4}$ は $2 a^{m + n} + 2 b^{m + n} > a^{m + n} + a^{m} b^{n} + a^{n} b^{m} + b^{m + n}$ すなわち $a^{m + n} + b^{m + n} > a^{m} b^{n} + a^{n} b^{m}$ と同値であり、これは $(b^{m} - a^{m}) (b^{n} - a^{n}) > 0$ から成り立つ。よって $f (m + n) > f (m) + f (n) > g (m + n) = g (m) + g (n)$ である。

補足すると，対数は増加関数なので，正の数どうしの大小を比較してから対数を取ってよい。特に $\frac{a ^{m + n} + b ^{m + n}}{2} > \frac{( a ^{m} + b ^{m} ) ( a ^{n} + b ^{n} )}{4}$ を示せば，両辺の常用対数を取って $f (m + n) > f (m) + f (n)$ が従う。差を計算すると $2 (a^{m + n} + b^{m + n}) - (a^{m} + b^{m}) (a^{n} + b^{n}) = (b^{m} - a^{m}) (b^{n} - a^{n}) > 0$ であり， $0 < a < b$ だから確かに正である。等号が成り立つのは $g (m + n) = g (m) + g (n)$ だけで， $f$ を含む二つの不等号は厳密である。

東北大学 1998年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

東北大学 1998年度
文系数学前期第2問