問題
2つの曲線とで囲まれた図形をとする．ただしは境界を含むものとする．
(1) の面積を求めよ．
(2) 直線が，と共通部分を持つためのの範囲を求めよ．
出典：東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
(1) は二つの放物線の交点を求め，上側から下側を引いて積分する。(2) は直線 を動かす問題を，図形 上での量 の値域問題に直す。 は連結な閉領域なので，境界上での最大・最小を調べればよく，下側放物線と上側放物線それぞれで の範囲を確認する。
解答
(1)
交点は より である。したがって面積は である。
(2)
直線がと交わる条件は、上でがとる値の範囲にが入ることである。下側の放物線では で、における最小値は、最大値は2である。上側の放物線では で、最大値はのときである。よって範囲全体は である。
詳しい確認を加える。 は二つの曲線に挟まれた閉領域であり， は連続関数であるから，その最大値・最小値は境界上で生じる。下側境界 では なので，最小値は ，端点 での値はいずれも である。上側境界では
であり，最大値は である。したがって の範囲は下限 から上限 まで連続的にすべて実現する。
別解。(2) は直線 を傾き のまま平行移動する問題として見てもよい。最初に図形 に触れる位置は下側放物線 への接線で， が重解をもつから 。最後に離れる位置は上側放物線 への接線で， の最大値より である。