問題
初項，公比 の等比数列
を考える．この数列の最初の3項，，は次の性質(i)，(ii)をもつとする．
(i)
(ii) ，，の順序を適当に入れ換えると等差数列になる．
このとき，初項と公比の組をすべて求めよ．
出典：東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問b
方針
最初の3項はであり、和の条件からを得る。3項を並べ替えて等差数列にできる条件は、3項のうちどれか1つが残り2つの平均になることである。どの項が中央項になるかを3通りに分け、と和の条件を合わせてを決める。
解答
最初の3項は である。条件(i)より であり、特にである。
3つの数を並べ替えて等差数列にできるためには、そのうち1つが他の2つの平均になればよい。
まずが中央項なら である。で割ると すなわちとなる。これはを与え、条件に反する。
次にが中央項なら である。で割ると だから である。よりであり、和の条件から なので である。
最後にが中央項なら である。で割ると だから である。よりであり、和の条件から となるので である。
したがって求める組は である。