東北大学 1997年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

三角形 $O A B$ の2辺 $O A$ ， $O B$ をそれぞれ $3 : 1$ ， $4 : 1$ に内分する点を $C$ ， $D$ とし， $B C$ と $A D$ の交点を $P$ ， $C D$ と $O P$ の交点を $Q$ とする．ベクトル $O A$ ， $O B$ をそれぞれ $a$ ， $b$ とおくとき，

(1) $O P$ を $a$ ， $b$ を使って表せ．

(2) $O Q$ を $a$ ， $b$ を使って表せ．

出典：東北大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

内分比から $O C = \frac{3}{4} a$ , $O D = \frac{4}{5} b$ を得る。点 $P$ は直線 $B C$ 上と直線 $A D$ 上の2通りに表し、 $a, b$ の係数を比較する。点 $Q$ も直線 $O P$ 上と直線 $C D$ 上の2通りに表し、同じく係数比較を行う。

解答

(1)

$C$ は $O A$ を $3 : 1$ に内分するので $O C = \frac{3}{4} a$ である。また $D$ は $O B$ を $4 : 1$ に内分するので $O D = \frac{4}{5} b$ である。

点 $P$ は $B C$ 上にあるから、ある実数 $s$ を用いて

O P = (1 - s) b + s \cdot \frac{3}{4} a = \frac{3 s}{4} a + (1 - s) b

と表せる。一方、 $P$ は $A D$ 上にもあるので、ある実数 $t$ を用いて

O P = (1 - t) a + t \cdot \frac{4}{5} b = (1 - t) a + \frac{4 t}{5} b

と表せる。

係数を比較すると $\frac{3 s}{4} = 1 - t, 1 - s = \frac{4 t}{5}$ である。第2式から $t = \frac{5}{4} (1 - s)$ であり、これを第1式に代入すると $\frac{3 s}{4} = 1 - \frac{5}{4} (1 - s) = \frac{- 1 + 5 s}{4}$ となる。よって $s = \frac{1}{2}$ である。したがって $O P = \frac{3}{8} a + \frac{1}{2} b$ である。

(2)

$Q$ は $O P$ 上にあるので、ある実数 $v$ を用いて

O Q = v (\frac{3}{8} a + \frac{1}{2} b) = \frac{3 v}{8} a + \frac{v}{2} b

と表せる。また $Q$ は $C D$ 上にあるので、ある実数 $u$ を用いて

O Q = (1 - u) O C + u O D = \frac{3}{4} (1 - u) a + \frac{4}{5} u b

と表せる。

係数を比較すると $\frac{3 v}{8} = \frac{3}{4} (1 - u), \frac{v}{2} = \frac{4}{5} u$ である。第1式から $\frac{v}{2} = 1 - u$ であるから、 $1 - u = \frac{4}{5} u$ を得る。よって $u = \frac{5}{9}, v = \frac{8}{9}$ である。したがって

O Q = \frac{8}{9} (\frac{3}{8} a + \frac{1}{2} b) = \frac{1}{3} a + \frac{4}{9} b

である。

東北大学 1997年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1997年度
後期・文系数学後期第2問