問題
1階から2階までの12段の階段を上り下りするゲームがある．サイコロを投げて，偶数の目が出れば，その目の数だけ階段を上る．奇数の目が出れば，その目の数だけ階段を下りる．ただし，サイコロを投げるときにいた階段の段数以上の奇数の目が出れば，1階（0段目）に下りる．また，2階（12段目）に達したところでゲームは終了する．
1階から出発して，サイコロを3回投げるまでにゲームが終了する確率を求めよ．
出典：東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問a
方針
3回の出目を順序つきの通りとして数える。2回目までの結果で、3回目に12段目へ到達または通過できるものだけを列挙する。2回目で既に終了している場合は、3回目の出目は6通りすべて同じ終了済みの列として数える。
解答
3回の出目を順序つきで考えると、全体は 通りである。ゲームは12段目に達した時点で終了するが、3回分の出目列として数えれば、早く終了した場合は残りの出目を何でもよいものとして扱える。
2回目までの出目を調べ、3回目に終了できるものを数える。2回目までの出目、2回目後の段数、3回目に有利な目の個数は次の通りである。
例えば2回目後に6段目にいると、3回目は6を出したときだけ12段目に達する。8段目なら4または6、10段目なら2,4,6で終了する。では2回目で既に12段目に達しているので、3回目の出目は6通りすべて許される。
したがって有利な出目列の総数は である。よって求める確率は である。