東北大学 1997年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

(1) $θ$ を $0^{\circ} < θ < 90^{\circ}$ を満たす角とし， $sin θ$ は2次方程式

(lo g_{2} 32) x^{2} + (lo g_{3} 9) x - lo g_{4} 64 = 0

の解であるとする．このとき $cos θ$ の値を求めよ．

(2) $θ$ を(1)のように定めるとき， $cos (2 θ + 60^{\circ})$ の値を求めよ．

出典：東北大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

まず対数の値を計算し、 $sin θ$ についての2次方程式を解く。 $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ より $sin θ$ は正で1以下なので、適切な解を選ぶ。そこから $cos θ$ 、 $sin 2 θ$ 、 $cos 2 θ$ を求め、加法定理で $cos (2 θ + 6 0^{\circ})$ を計算する。

解答

(1)

$lo g_{2} 32 = 5, lo g_{3} 9 = 2, lo g_{4} 64 = 3$ である。したがって $sin θ$ は $5 x^{2} + 2 x - 3 = 0$ の解である。因数分解すると $5 x^{2} + 2 x - 3 = (5 x - 3) (x + 1)$ なので $x = \frac{3}{5}, x = - 1$ を得る。 $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ より $sin θ = \frac{3}{5}$ である。したがって $cos θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ である。

(2)

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}

であり、

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}

である。加法定理より

cos (2 θ + 6 0^{\circ}) = cos 2 θ cos 6 0^{\circ} - sin 2 θ sin 6 0^{\circ}

だから

cos (2 θ + 6 0^{\circ}) = \frac{7}{25} \cdot \frac{1}{2} - \frac{24}{25} \cdot \frac{3}{2} = \frac{7}{50} - \frac{12 3}{25}

である。

東北大学 1997年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1997年度
後期・文系数学後期第1問