東北大学 1997年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

$a$ を $0 < a < 1$ を満たす定数とする．

(1) 関数 $f (x) = x ∣ x - a ∣$ のグラフの概形をかけ．

(2) 積分 $g (a) = \int_{0}^{1} x ∣ x - a ∣ d x$ の値を最小にする $a$ を求めよ．

出典：東北大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

方針

$0 < a < 1$ なので、積分区間 $[0, 1]$ を $[0, a]$ と $[a, 1]$ に分けて絶対値を外す。グラフは $x < a$ で $x (a - x)$ 、 $x ≧ a$ で $x (x - a)$ となる2つの放物線をつないだ形である。 $g (a)$ を $a$ の式として求め、微分して最小点を決定する。

解答

(1)

$0 < a < 1$ であり、

f (x) = x ∣ x - a ∣ = {x (a - x) x (x - a) (x < a), (x ≧ a)

である。 $x < a$ では $f (x) = - x^{2} + a x$ で、上に凸の放物線である。 $x ≧ a$ では $f (x) = x^{2} - a x$ で、下に凸の放物線である。グラフは $x = 0$ と $x = a$ で $x$ 軸と交わり、 $x = a$ で折れ曲がる。

(2)

積分区間を $a$ で分けると $g (a) = \int_{0}^{a} x (a - x) d x + \int_{a}^{1} x (x - a) d x$ である。第1項は $\int_{0}^{a} (a x - x^{2}) d x = \frac{a ^{3}}{6}$ である。第2項は

\int_{a}^{1} (x^{2} - a x) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - \frac{a}{2} x^{2}]_{a}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{a}{2} + \frac{a ^{3}}{6}

である。したがって $g (a) = \frac{a ^{3}}{3} - \frac{a}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2 a ^{3} - 3 a + 2}{6}$ である。

微分すると $g^{'} (a) = a^{2} - \frac{1}{2}, g^{''} (a) = 2 a$ である。 $0 < a < 1$ では $g^{''} (a) > 0$ なので、 $g^{'} (a) = 0$ となる点で最小値をとる。よって $a^{2} = \frac{1}{2}$ より $a = \frac{1}{2}$ である。

別解。 $g (a)$ を全部展開しなくても、分けた積分から直接

g^{'} (a) = \int_{0}^{a} x d x - \int_{a}^{1} x d x = \frac{a ^{2}}{2} - \frac{1 - a ^{2}}{2} = a^{2} - \frac{1}{2}

と求められる。したがって同じく $a = \frac{1}{2}$ で最小となる。

東北大学 1997年度後期・文系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1997年度
後期・文系数学後期第3問