東北大学 1997年度文系数学前期第4問b 解答・解説

問題

(1) 2次方程式 $x^{2} + a x + b = 0$ が相異なる2つの解 $α$ ， $β$ をもつとき，定数 $p$ ， $q$ に対し

x_{0} = p + q, x_{n} = p α^{n} + q β^{n} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

とおく．このとき次の等式が成り立つことを示せ．

x_{n + 2} + a x_{n + 1} + b x_{n} = 0 (n = 0, 1, 2, \dots\dots)

(2) $x_{0} = 2$ ， $x_{1} = 3$ ， $x_{n + 2} = x_{n + 1} + x_{n}$ $(n = 0, 1, 2, \dots\dots)$ で与えられる数列の一般項は

x_{n} = \frac{2 + 5}{5} (\frac{1 + 5}{2})^{n} + \frac{- 2 + 5}{5} (\frac{1 - 5}{2})^{n}

で与えられることを示せ．

出典：東北大学 1997年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問b

方針

(1)は $α, β$ が方程式の解であることを、 $α^{n}, β^{n}$ を掛けて利用する。(2)は漸化式の特性方程式 $r^{2} - r - 1 = 0$ を作り、(1)の形に合わせて一般項を置く。初期条件 $x_{0} = 2, x_{1} = 3$ から係数を決める。

解答

(1)

$α, β$ は $x^{2} + a x + b = 0$ の解であるから $α^{2} + a α + b = 0, β^{2} + a β + b = 0$ を満たす。これらにそれぞれ $α^{n}, β^{n}$ を掛けると

α^{n + 2} + a α^{n + 1} + b α^{n} = 0, β^{n + 2} + a β^{n + 1} + b β^{n} = 0

である。第1式に $p$ 、第2式に $q$ を掛けて加えれば $x_{n + 2} + a x_{n + 1} + b x_{n} = 0$ を得る。

(2)

漸化式は $x_{n + 2} - x_{n + 1} - x_{n} = 0$ であるから、特性方程式は $r^{2} - r - 1 = 0$ である。その2解を $α = \frac{1 + 5}{2}, β = \frac{1 - 5}{2}$ とする。(1)より $x_{n} = p α^{n} + q β^{n}$ とおける。

初期条件から $p + q = 2, p α + q β = 3$ である。 $q = 2 - p$ を第2式に代入して $p (α - β) + 2 β = 3$ を得る。 $α - β = 5$ , $2 β = 1 - 5$ より $p = \frac{3 - ( 1 - 5 )}{5} = \frac{2 + 5}{5}$ である。したがって $q = 2 - p = \frac{- 2 + 5}{5}$ となる。よって

x_{n} = \frac{2 + 5}{5} (\frac{1 + 5}{2})^{n} + \frac{- 2 + 5}{5} (\frac{1 - 5}{2})^{n}

である。

別解。右辺を $y_{n}$ とおくと、 $α^{2} = α + 1$ , $β^{2} = β + 1$ より $y_{n + 2} = y_{n + 1} + y_{n}$ が成り立つ。また直接計算で $y_{0} = 2$ , $y_{1} = 3$ である。したがって $y_{n}$ は与えられた数列と同じ初期条件と漸化式を満たすので、表示式は正しい。

東北大学 1997年度文系数学 前期 第4問b

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1997年度
文系数学前期第4問b