問題
2次方程式が2つの解をもち，かつその差が1であるとする．
(1) をで表せ．
(2) 2次関数のグラフが，領域を通らないようなの範囲を求めよ．
出典：東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
2解をとおき、解と係数の関係およびを判別式で表す。(2)では「グラフが領域を通らない」を、グラフ上の任意の点でが成り立つ条件に言い換える。最後は1変数2次式が常に非負となる条件を判別式、または最小値で判定する。
解答
(1)
2つの解をとする。解と係数の関係より である。また、2つの解の差が1であるから である。一方、 なので を得る。したがって である。
(2)
放物線上の点はである。グラフが領域を通らない条件は、すべての実数について が成り立つことである。すなわち が常に成り立てばよい。
(1)の結果を代入すると をすべての実数で満たす条件を求めればよい。この2次式の先頭係数は正なので、判別式が0以下であることが必要十分である。よって である。整理すると となるから である。
別解。(2)は平方完成でも判定できる。
である。最小値が0以上であればよいので となり、同じくを得る。