東北大学 1997年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

(1) 直線 $y = x - 1$ は，2つの2次曲線

y = x (x - 1), y = x^{2} - 3 x + 3

に接することを示せ．

(2) 直線 $y = x - 1$ と，2つの2次曲線

y = x (x - 1), y = x^{2} - 3 x + 3

により囲まれる部分の面積を求めよ．

出典：東北大学 1997年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

直線と各放物線の差をとり、差が平方になることから接点を特定する。面積は、直線の上側で2つの放物線のうち下側の曲線までの部分であり、2つの放物線の交点 $x = \frac{3}{2}$ で上下関係が入れ替わるので、そこで積分区間を分ける。

解答

(1)

$x (x - 1) - (x - 1) = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ である。したがって直線 $y = x - 1$ は、 $x = 1$ で放物線 $y = x (x - 1)$ に接する。

また、 $x^{2} - 3 x + 3 - (x - 1) = x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ であるから、直線 $y = x - 1$ は、 $x = 2$ で放物線 $y = x^{2} - 3 x + 3$ に接する。

(2)

2つの放物線の交点は $x (x - 1) = x^{2} - 3 x + 3$ より $2 x = 3, x = \frac{3}{2}$ である。 $1 ≦ x ≦ \frac{3}{2}$ では $x (x - 1)$ が下側、 $\frac{3}{2} ≦ x ≦ 2$ では $x^{2} - 3 x + 3$ が下側になる。よって求める面積は $\int_{1}^{3/2} {x (x - 1) - (x - 1)} d x + \int_{3/2}^{2} {x^{2} - 3 x + 3 - (x - 1)} d x$ である。平方の形を用いると $\int_{1}^{3/2} (x - 1)^{2} d x + \int_{3/2}^{2} (x - 2)^{2} d x$ となる。したがって

\int_{1}^{3/2} (x - 1)^{2} d x = \frac{1}{24}, \int_{3/2}^{2} (x - 2)^{2} d x = \frac{1}{24}

であるから、面積は $\frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12}$ である。

東北大学 1997年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1997年度
文系数学前期第3問