東北大学 1997年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

(1) 等式 $(1 + sin θ + cos θ)^{2} = 2 (1 + sin θ) (1 + cos θ)$ が成り立つことを証明せよ．

(2) $θ$ の関数 $(1 + sin θ) (1 + cos θ)$ の $0^{\circ} ≦ θ < 360^{\circ}$ の範囲での最大値および最小値を求めよ．

出典：東北大学 1997年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

(1)は両辺を展開し、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を用いて一致を確認する。(2)では(1)の恒等式から積を $u = sin θ + cos θ$ の2次式に直し、 $- 2 ≦ u ≦ 2$ における $\frac{( 1 + u ) ^{2}}{2}$ の最大・最小を調べる。

解答

(1)

左辺を展開すると

(1 + sin θ + cos θ)^{2} = 1 + sin^{2} θ + cos^{2} θ + 2 sin θ + 2 cos θ + 2 sin θ cos θ

である。 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ より

(1 + sin θ + cos θ)^{2} = 2 + 2 sin θ + 2 cos θ + 2 sin θ cos θ

となる。一方、

2 (1 + sin θ) (1 + cos θ) = 2 + 2 sin θ + 2 cos θ + 2 sin θ cos θ

であるから、等式は成り立つ。

(2)

(1)より $(1 + sin θ) (1 + cos θ) = \frac{( 1 + s i n θ + c o s θ ) ^{2}}{2}$ である。ここで $u = sin θ + cos θ$ とおくと、 $u = 2 sin (θ + 4 5^{\circ})$ であるから $- 2 ≦ u ≦ 2$ である。したがって対象は $\frac{( 1 + u ) ^{2}}{2}$ の最大・最小である。

区間 $[- 2, 2]$ には $u = - 1$ が含まれるので、最小値は $\frac{( 1 - 1 ) ^{2}}{2} = 0$ である。最大値は $- 1$ から最も遠い端点 $u = 2$ で達し、 $\frac{( 1 + 2 ) ^{2}}{2} = \frac{3 + 2 2}{2}$ である。

東北大学 1997年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1997年度
文系数学前期第2問