東北大学 1997年度文系数学前期第4問a 解答・解説

問題

1個のサイコロを $n$ 回投げて，5以上の目が少なくとも1回出る確率を0.9995以上にするための $n$ の最小値を求めよ．ただし， $lo g_{10} 2 = 0.3010$ ， $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする．

出典：東北大学 1997年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問a

方針

「少なくとも1回」を余事象で表す。1回で5以上が出ない確率は $\frac{2}{3}$ なので、 $(\frac{2}{3})^{n} ≦ \frac{1}{2000}$ を満たす最小の $n$ を、与えられた常用対数を使って決める。

解答

1回の試行で5以上の目が出ない確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。したがって、 $n$ 回投げても5以上の目が1回も出ない確率は $(\frac{2}{3})^{n}$ である。

条件は $1 - (\frac{2}{3})^{n} ≧ 0.9995$ であり、これは $(\frac{2}{3})^{n} ≦ 0.0005 = \frac{1}{2000}$ と同値である。逆数をとって $(\frac{3}{2})^{n} ≧ 2000$ とし、常用対数をとると $n lo g_{10} \frac{3}{2} ≧ lo g_{10} 2000$ である。

与えられた値から $lo g_{10} \frac{3}{2} = 0.4771 - 0.3010 = 0.1761$ また $lo g_{10} 2000 = lo g_{10} (2 \cdot 1 0^{3}) = 0.3010 + 3 = 3.3010$ である。よって $n ≧ \frac{3.3010}{0.1761}$ である。ここで $0.1761 \cdot 18 = 3.1698 < 3.3010, 0.1761 \cdot 19 = 3.3459 > 3.3010$ だから、条件を満たす最小の整数は $19$ である。

東北大学 1997年度文系数学 前期 第4問a

問題

方針

解答

東北大学 1997年度
文系数学前期第4問a