東北大学 1995年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$a > 2$ とし， $f (x) = x^{2} e^{- ∣ x - a ∣}$ とする．

(1) $f (x)$ の極値を求めよ．

(2) 極限値 $a \to + \infty lim \frac{1}{a ^{2}} \int_{- a}^{a} f (x) d x$ を求めよ．

出典：東北大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

絶対値を $x ≦ a$ と $x ≧ a$ に分けて外し，それぞれで微分する。 $a > 2$ により臨界点の並びが $- 2, 0, a$ になることを確認し， $x = a$ は微分不能だが左右の増減から極大と判定する。(2) は積分区間 $[- a, a]$ 全体で $x ≦ a$ なので， $f (x) = x^{2} e^{x - a}$ として積分する。

解答

(1) $x ≦ a$ では $∣ x - a ∣ = a - x$ なので $f (x) = x^{2} e^{x - a}$ である。したがって $f^{'} (x) = 2 x e^{x - a} + x^{2} e^{x - a} = e^{x - a} x (x + 2)$ である。よって $x < a$ 側では $x = - 2, 0$ が増減の境目になる。

一方， $x ≧ a$ では $∣ x - a ∣ = x - a$ なので $f (x) = x^{2} e^{a - x}$ であり， $f^{'} (x) = 2 x e^{a - x} - x^{2} e^{a - x} = e^{a - x} x (2 - x)$ である。 $a > 2$ なので， $x > a$ では常に $x > 2$ であり， $f^{'} (x) < 0$ である。

増減をまとめると， $(- \infty, - 2)$ で増加， $(- 2, 0)$ で減少， $(0, a)$ で増加， $(a, \infty)$ で減少する。したがって $x = - 2, x = 0, x = a$ で極値をとる。値は $f (- 2) = 4 e^{- a - 2}, f (0) = 0, f (a) = a^{2}$ である。左右の増減より， $x = - 2$ と $x = a$ で極大， $x = 0$ で極小である。したがって $極大値 4 e^{- a - 2}, a^{2}, 極小値 0$ である。

(2) 積分区間は $- a ≦ x ≦ a$ であり，この範囲では常に $x ≦ a$ である。したがって $f (x) = x^{2} e^{x - a}$ を用いればよい。求める量は

\frac{1}{a ^{2}} \int_{- a}^{a} x^{2} e^{x - a} d x = \frac{e ^{- a}}{a ^{2}} \int_{- a}^{a} x^{2} e^{x} d x

である。

部分積分を2回行うと $\int x^{2} e^{x} d x = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)$ である。よって

\frac{e ^{- a}}{a ^{2}} \int_{- a}^{a} x^{2} e^{x} d x = \frac{e ^{- a}}{a ^{2}} [e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)]_{- a}^{a}

$= \frac{e ^{- a}}{a ^{2}} {e^{a} (a^{2} - 2 a + 2) - e^{- a} (a^{2} + 2 a + 2)}$ $= \frac{a ^{2} - 2 a + 2}{a ^{2}} - e^{- 2 a} \frac{a ^{2} + 2 a + 2}{a ^{2}}$ である。ここで

\frac{a ^{2} - 2 a + 2}{a ^{2}} \to 1, e^{- 2 a} \frac{a ^{2} + 2 a + 2}{a ^{2}} \to 0 (a \to + \infty)

だから $a \to + \infty lim \frac{1}{a ^{2}} \int_{- a}^{a} f (x) d x = 1$ である。

東北大学 1995年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

東北大学 1995年度
後期・理系数学後期第5問