問題
2つの不等式，を同時に満たすの平面の領域の面積を求めよ．
出典：東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
楕円 を ， によって単位円に移す。面積倍率が であることを確認し，直線 は単位円上で中心から距離 の直線になる。求める領域は単位円から小さい弓形を除いた部分である。
解答
不等式 は と同値である。そこで とおくと，楕円は単位円 に移る。この変換では であるから，面積は 平面での面積の 倍になる。
次に直線 は すなわち に移る。原点からこの直線までの距離は である。また原点は を満たすので，求める領域は単位円のうち原点側の大きい部分である。
単位円を，中心から距離 の直線で切る。小さい弓形に対応する中心角は である。したがってその弓形の面積は，扇形から二等辺三角形を引いて
である。
よって単位円内で求める部分の面積は
である。元の 平面での面積はこれを 倍して である。
別解。直接積分する場合も，変換後の単位円で行うとよい。直線を原点からの距離方向に回転して と見れば，除く弓形の面積は であり， と置くと同じく が得られる。