東北大学 1995年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

である。長さの2乗は $|\overrightarrow{AB}{|}^2=(1-\sqrt{2}{)}^2+(-1-\sqrt{2}{)}^2+2=8$ であり，同様に $|\overrightarrow{AC}{|}^2=8$ である。また内積は

である。したがってなす角を $\alpha$ とすると $\cos \alpha =\frac{4}{\sqrt{8}\sqrt{8}}=\frac{1}{2}$ であり，$\boxed{\alpha =60^{\circ }}$ である。

(2) (1) の2本のベクトルに垂直なベクトルとして $(1,1,2)$ を取れる。実際，$(1,1,2)$ と $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ の内積はいずれも0である。したがって平面 $S$ の方程式は $x+y+2z=k$ と書ける。点 $A(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$ を代入して $k=2\sqrt{2}$ だから $\boxed{x+y+2z=2\sqrt{2}}$ である。

(3) まず三角形 $ABC$ について確認する。(1) より $|AB|=|AC|=2\sqrt{2}$，また $|BC|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=2\sqrt{2}$ であるから，三角形 $ABC$ は正三角形である。したがって内心は重心でもあり，

である。辺の長さが $2\sqrt{2}$ の正三角形の内接円半径は $\rho =\frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ である。

求める球の中心を $M$ とする。平面 $S$ による切り口の円の中心は，球の中心から平面 $S$ に下ろした垂線の足である。したがって，その切り口が三角形 $ABC$ の内接円であるためには，垂線の足が $I$ でなければならない。よって $M$ は $I$ を通り，平面 $S$ に垂直な直線上にある。法線ベクトルは $(1,1,2)$ なので $M=I+\lambda (1,1,2)$ とおける。

球は原点 $O$ を通るので，球の半径の2乗は $|M{|}^2$ である。一方，平面 $S$ と球の切り口の半径は $\rho$ であり，中心 $M$ から平面までの距離の2乗は ${\lambda }^2\{1^2+1^2+2^2\}=6{\lambda }^2$ である。したがって $|M{|}^2={\rho }^2+6{\lambda }^2$ が成り立つ。

ここで $|I{|}^2=\frac{4}{3},I\cdot (1,1,2)=2\sqrt{2},{\rho }^2=\frac{2}{3}$ であるから $|I+\lambda (1,1,2){|}^2=\frac{4}{3}+4\sqrt{2}\lambda +6{\lambda }^2$ である。これを $\frac{2}{3}+6{\lambda }^2$ と等しくして $\frac{4}{3}+4\sqrt{2}\lambda =\frac{2}{3}$ より $\lambda =-\frac{1}{6\sqrt{2}}$ である。したがって $M=\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ となる。半径の2乗は $|M{|}^2=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ である。よって求める球面は

である。