東北大学 1995年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1) 放物線 $y=\frac{1}{2}{x}^2-1$ の $x=t$ における接線の傾きは $t$ である。$t\ne 0$ のとき，法線 $l_t$ の傾きは $-1/t$ なので，法線の式は $y-\left(\frac{t^2}{2}-1\right)=-\frac{1}{t}(x-t)$ である。点 $P(p,q)$ がこの法線上にある条件は $q-\left(\frac{t^2}{2}-1\right)=-\frac{1}{t}(p-t)$ である。両辺に $t$ を掛けて整理すると $tq-\frac{t^3}{2}+t=-p+t$ すなわち $\boxed{t^3-2qt-2p=0}$ となる。 $t=0$ のとき，接線は水平で法線は $x=0$ である。点 $P(p,q)$ がこの法線上にある条件は $p=0$ であり，上の式に $t=0$ を代入しても $-2p=0$ となる。したがって上の関係式は $t=0$ の場合も含んでいる。

(2) $q=3/2$ のとき，(1) の式は $t^3-3t-2p=0$ である。ここで $h(t)=t^3-3t$ とおくと，方程式は $h(t)=2p$ である。 $h^{\prime }(t)=3t^2-3=3(t-1)(t+1)$ だから，$h(t)$ は $t=-1$ で極大，$t=1$ で極小をとる。値は $h(-1)=2,h(1)=-2$ である。したがって水平線 $y=2p$ との交点数を読むと，法線の本数は

である。

(3) 一般に $F(t)=t^3-2qt-2p$ とおく。法線がちょうど2本あるとは，この3次方程式が異なる実数解をちょうど2つもつことである。3次方程式で異なる実数解がちょうど2つになるのは，重解を1つもち，かつ3重解ではないときである。

重解を $t=\alpha$ とする。このとき $F(\alpha )=0,F^{\prime }(\alpha )=0$ である。$F^{\prime }(t)=3t^2-2q$ だから $3{\alpha }^2-2q=0$ すなわち $q=\frac{3}{2}{\alpha }^2$ である。また $F(\alpha )={\alpha }^3-2q\alpha -2p=0$ に代入すると ${\alpha }^3-3{\alpha }^3-2p=0$ より $p=-{\alpha }^3$ である。もし $\alpha =0$ なら $p=q=0$ となり，$F(t)=t^3$ で3重解になって法線は1本だけである。したがって $\alpha \ne 0$，特に $q>0$ である。 $p=-{\alpha }^3$，$q=\frac{3}{2}{\alpha }^2$ から $\alpha$ を消去すると $p^2={\alpha }^6,q^3=\frac{27}{8}{\alpha }^6$ である。したがって $\boxed{q>0,8q^3=27p^2}$ が求める条件である。