東北大学 1995年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

図のような4個の点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ を結んだ図形を考える．動点 $P$ は点 $A$ を出発点として $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 上を移動する． $P$ が $A$ または $C$ にいるときは，残りの3点にそれぞれ $\frac{1}{3}$ の確率で移動し， $P$ が $B$ または $D$ にいるときは $A$ ， $C$ にそれぞれ $\frac{1}{2}$ の確率で移動する． $n$ 回の移動後 $P$ が $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ にいる確率をそれぞれ $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ ， $d_{n}$ とする．
% 図は省略

(1) $a_{n + 1}$ ， $c_{n + 1}$ を $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ ， $d_{n}$ を用いて表せ．

(2) 数列 ${a_{n} + c_{n}}$ ， ${a_{n} - c_{n}}$ のそれぞれの漸化式を導け．

(3) $a_{n}$ ， $c_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

移動規則から $a_{n + 1}$ ， $c_{n + 1}$ をまず書く。次に全確率 $a_{n} + b_{n} + c_{n} + d_{n} = 1$ を使い， $a_{n} + c_{n}$ と $a_{n} - c_{n}$ の2つに分けると一次漸化式になる。初期値 $a_{0} = 1$ ， $c_{0} = 0$ からそれぞれを解き，和と差から $a_{n}$ ， $c_{n}$ に戻す。

解答

(1) 点 $A$ にいるためには，直前に $C$ にいて確率 $1/3$ で移るか，直前に $B$ または $D$ にいて確率 $1/2$ で移る必要がある。したがって $a_{n + 1} = \frac{1}{3} c_{n} + \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2} d_{n}$ である。同様に，点 $C$ にいるためには，直前に $A$ にいて確率 $1/3$ で移るか，直前に $B$ または $D$ にいて確率 $1/2$ で移ればよいので $c_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} + \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2} d_{n}$ である。

(2) まず2式を足すと $a_{n + 1} + c_{n + 1} = \frac{1}{3} (a_{n} + c_{n}) + (b_{n} + d_{n})$ である。全確率の和は1なので $b_{n} + d_{n} = 1 - (a_{n} + c_{n})$ である。よって $a_{n + 1} + c_{n + 1} = 1 - \frac{2}{3} (a_{n} + c_{n})$ を得る。

次に2式を引くと $a_{n + 1} - c_{n + 1} = \frac{1}{3} (c_{n} - a_{n}) = - \frac{1}{3} (a_{n} - c_{n})$ である。したがって $a_{n + 1} - c_{n + 1} = - \frac{1}{3} (a_{n} - c_{n})$ である。

(3) 出発点は $A$ なので $a_{0} = 1, c_{0} = 0$ である。ここで $s_{n} = a_{n} + c_{n}, r_{n} = a_{n} - c_{n}$ とおく。(2) より $s_{n + 1} = 1 - \frac{2}{3} s_{n}$ である。この漸化式の一定値 $s$ は $s = 1 - \frac{2}{3} s$ を満たすので $s = \frac{3}{5}$ である。したがって $s_{n + 1} - \frac{3}{5} = - \frac{2}{3} (s_{n} - \frac{3}{5})$ であり， $s_{0} = 1$ から $s_{n} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} (- \frac{2}{3})^{n}$ となる。

また $r_{n + 1} = - \frac{1}{3} r_{n}, r_{0} = 1$ だから $r_{n} = (- \frac{1}{3})^{n}$ である。和と差から $a_{n} = \frac{s _{n} + r _{n}}{2}, c_{n} = \frac{s _{n} - r _{n}}{2}$ である。よって

a_{n} = \frac{1}{2} {\frac{3}{5} + \frac{2}{5} (- \frac{2}{3})^{n} + (- \frac{1}{3})^{n}}

および

c_{n} = \frac{1}{2} {\frac{3}{5} + \frac{2}{5} (- \frac{2}{3})^{n} - (- \frac{1}{3})^{n}}

である。

東北大学 1995年度後期・理系数学 後期 第3問

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方針

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東北大学 1995年度
後期・理系数学後期第3問