東北大学 1994年度
後期・理系数学 後期 第5問

解答

(1)

$g(x)=f(x{)}^2+f(1-x{)}^2$ である。これを微分すると $g^{\prime }(x)=2f(x)f^{\prime }(x)-2f(1-x)f^{\prime }(1-x)$ である。

条件より $f^{\prime }(x)=af(1-x)$ である。また、この式の $x$ に $1-x$ を代入すると $f^{\prime }(1-x)=af(x)$ である。したがって $g^{\prime }(x)=2f(x)af(1-x)-2f(1-x)af(x)=0$ となる。よって $\boxed{g(x)\text{ は }x\text{ によらない定数である}}$ ことが分かる。

(2)

$f(x)$ は $x=0$ で最大値2をとるので $f(0)=2$ である。また微分可能で、$x=0$ で最大をとるから $f^{\prime }(0)=0$ である。条件式に $x=0$ を代入すると $f^{\prime }(0)=af(1)$ であり、$a\ne 0$ だから $f(1)=0$ である。

(1)より $g(x)$ は定数なので $g(x)=g(0)=f(0{)}^2+f(1{)}^2=2^2+0^2=4$ である。したがって $\boxed{g(x)=4}$ である。

(3)

(2)より、すべての $x$ について $f(x{)}^2+f(1-x{)}^2=4$ である。これを $0$ から $1$ まで積分すると ${\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx+{\int }_0^{1}f(1-x{)}^{2}dx=4$ である。第2項で $u=1-x$ と置換すると ${\int }_0^{1}f(1-x{)}^{2}dx={\int }_0^{1}f(u{)}^{2}du$ である。したがって $2{\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx=4$ となるので $\boxed{{\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx=2}$ である。

別解。(3)は、$g(x)=4$ が $x$ と $1-x$ を対にした一定量であることを使って、区間 $[0,1]$ の前半と後半を対応させると見てもよい。片方の値が大きいところではもう片方が小さくなり、2つの二乗和が常に4に保たれるため、平均すると片方の積分は全体の半分で2になる。