東北大学 1994年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

楕円 $K$ 上の点は $(x,y)=(c+a\cos u,b\sin u),b^2=\frac{c^2-a^2}{3}$ と表せる。回転後の座標を $(X,Y)$ とすると $X=x\cos \theta -y\sin \theta$ $Y=x\sin \theta +y\cos \theta$ である。

まず、すべての点で $X<0$ となる条件を求める。楕円上での $X$ の最大値は $c\cos \theta +\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }$ である。したがって必要十分条件は $c\cos \theta +\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }<0$ である。平方根は0以上なので、まず $\cos \theta <0$ が必要である。このもとで両辺を移して2乗すると $c^2{\cos }^2\theta >a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta$ である。$b^2=(c^2-a^2)/3$ を代入して、$c^2-a^2>0$ で割ると ${\cos }^2\theta >\frac{1}{3}{\sin }^2\theta$ となる。よって $150^{\circ }<\theta <210^{\circ }$ である。

次に、すべての点で $X+Y<0$ となる条件を求める。 $X+Y=(\cos \theta +\sin \theta )x+(\cos \theta -\sin \theta )y$ であるから、楕円上での最大値は

である。これが0未満になるためには、まず $\cos \theta +\sin \theta <0$ が必要である。そのもとで同様に2乗すると $(c^2-a^2)(\cos \theta +\sin \theta {)}^2>b^2(\cos \theta -\sin \theta {)}^2$ であり、$b^2=(c^2-a^2)/3$ より $(\cos \theta +\sin \theta {)}^2>\frac{1}{3}(\cos \theta -\sin \theta {)}^2$ となる。 $\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\cos (\theta -45^{\circ })$、$\cos \theta -\sin \theta =-\sqrt{2}\sin (\theta -45^{\circ })$ を用いると、この条件は $\cos (\theta -45^{\circ })<0,|\tan (\theta -45^{\circ })|<\sqrt{3}$ である。したがって $165^{\circ }<\theta <285^{\circ }$ である。

2つの条件を同時に満たす範囲は $(150^{\circ },210^{\circ })\cap (165^{\circ },285^{\circ })$ である。よって求める範囲は $\boxed{165^{\circ }<\theta <210^{\circ }}$ である。端点では楕円が境界直線に接するため、条件の $<0$ を満たさない。