問題
(1) を満たすの範囲を求めよ．
(2) 平面において，座標が(1)を満たす点の集合とで表される図形との共通部分の面積を求めよ．
出典：東北大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
まず対数の真数条件から または に分ける。 では対数が負になり左側の不等式に反するので除外し、 で右側の不等式だけを処理する。(2)ではさらに が必要なので、(1)の範囲と交差させ、上下差を積分して面積を出す。
解答
(1)
まず対数の真数条件を調べる。 でなければならない。これは である。 のときは なので である。しかし だから、 は成り立たない。したがって は除かれる。
次に とする。このとき なので対数は正である。したがって左側の不等式 は自動的に成り立つ。残る条件は である。底が2で1より大きいので、これは と同値である。すなわち より である。 なので両辺に を掛けると不等号の向きが変わり、 となる。したがって である。
よって求める範囲は である。
(2)
(1)より、対象となる は である。また図形 が存在するためには が必要である。これは であり、因数分解すると である。 だから、 では符号は で決まる。 と合わせると である。
したがって面積 は である。計算すると である。よって である。