東北大学 1994年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

1から20までの目が等確率で出る正二十面体のサイコロを考える．このような $N$ 個のサイコロを同時に投げ，出た目の数の和が $N + 19$ になる確率を $P_{N}$ とおく．

(1) $P_{N}$ を求めよ．

(2) $N \to \infty lim \frac{1}{N} lo g P_{N}$ を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

出典：東北大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

各サイコロの目から1を引くと、 $0$ から $19$ までの整数の和が19になる場合を数える問題になる。和が19なので各変数の上限19は自動的に満たされ、重複組合せで数えられる。(2)では $_{N + 18} C_{18}$ が $N$ の18次程度の増加であることを不等式で押さえ、指数的に効く $2 0^{- N}$ だけが極限に残ることを示す。

解答

(1)

$i$ 個目のサイコロの出た目を $X_{i}$ とし、 $Y_{i} = X_{i} - 1$ とおく。すると $Y_{i}$ は $0, 1, \dots, 19$ のいずれかであり、条件 $X_{1} + X_{2} + \dots + X_{N} = N + 19$ は $Y_{1} + Y_{2} + \dots + Y_{N} = 19$ と同値である。

和が19で、各 $Y_{i} ≧ 0$ なので、上限 $Y_{i} ≦ 19$ は自動的に満たされる。したがって有利な場合の数は、19個の同じものを $N$ 個の箱に分ける数であり、 $_{N + 18} C_{18}$ である。全事象は $2 0^{N}$ 通りなので $P_{N} = \frac{_{N + 18} C _{18}}{2 0 ^{N}}$ である。

(2)

(1)より $\frac{1}{N} lo g P_{N} = \frac{1}{N} lo g_{N + 18} C_{18} - lo g 20$ である。ここで $_{N + 18} C_{18} = \frac{( N + 18 ) ( N + 17 ) \dots ( N + 1 )}{18 !}$ であるから、これは $N$ の18次式程度の大きさである。例えば $_{N + 18} C_{18} ≦ \frac{( N + 18 ) ^{18}}{18 !}$ なので

0 ≦ \frac{1}{N} lo g_{N + 18} C_{18} ≦ \frac{18 lo g ( N + 18 ) - lo g ( 18 !)}{N}

である。右辺は $N \to \infty$ で0に近づく。したがって $lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} lo g_{N + 18} C_{18} = 0$ である。

よって $N \to \infty lim \frac{1}{N} lo g P_{N} = - lo g 20$ である。

東北大学 1994年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1994年度
後期・理系数学後期第4問