東北大学 1994年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面の原点を $O$ とし，直線 $L : x = 1$ ，曲線 $C : y = x lo g x$ $(x > 0)$ と， $L$ 上を動く点 $P$ を考える．時刻 $t$ $(0 ≦ t ≦ 2 π)$ のときの $P$ の速度ベクトルは $(0, 2 cos t)$ で， $P$ は $t = 0$ のとき点 $(1, 0)$ にある．直線 $O P$ と $C$ との交点を $Q$ とする．ただし，対数は自然対数とする．動点 $Q$ の速度ベクトルの $x$ 成分が最大，最小となる時刻と，そのときの $Q$ の座標をそれぞれ求めよ．

出典：東北大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

まず速度を積分して $P = (1, 2 sin t)$ を求める。直線 $O P$ の傾きは $2 sin t$ なので、曲線 $y = x lo g x$ との交点は $lo g x = 2 sin t$ から媒介表示できる。 $Q$ の $x$ 座標を微分して速度の $x$ 成分を出し、その最大・最小を $0 ≦ t ≦ 2 π$ で調べる。

解答

(1)

点 $P$ は直線 $x = 1$ 上を動き、速度ベクトルは $(0, 2 cos t)$ である。 $t = 0$ で $P = (1, 0)$ だから、 $P$ の座標は $P = (1, 2 sin t)$ である。

直線 $O P$ は原点と $P$ を通るので、その方程式は $y = 2 sin t x$ である。点 $Q$ はこの直線と曲線 $C : y = x lo g x$ の交点であり、 $x > 0$ だから $x lo g x = 2 sin t x$ より $lo g x = 2 sin t$ である。したがって $x = e^{2 s i n t}$ であり、 $Q = (e^{2 s i n t}, 2 sin t e^{2 s i n t})$ である。 $Q$ の速度ベクトルの $x$ 成分は、 $Q$ の $x$ 座標を $t$ で微分して $\frac{d}{d t} e^{2 s i n t} = 2 cos t e^{2 s i n t}$ である。これを $v (t) = 2 cos t e^{2 s i n t}$ とおく。

微分すると $v^{'} (t) = 2 e^{2 s i n t} {- sin t + 2 cos^{2} t}$ である。 $s = sin t$ とおくと、 $v^{'} (t) = 0$ は $- s + 2 (1 - s^{2}) = 0$ すなわち $2 s^{2} + s - 2 = 0$ である。これを解くと $s = \frac{1}{2}$ だけが $- 1 ≦ s ≦ 1$ に入る。したがって候補は $t = \frac{π}{4}, t = \frac{3 π}{4}$ である。

それぞれの値は $v (\frac{π}{4}) = e, v (\frac{3 π}{4}) = - e$ である。端点や他の点での値はこれを超えないので、最大は $t = π /4$ 、最小は $t = 3 π /4$ である。このとき $2 sin t = 1$ なので、どちらの場合も $Q = (e, e)$ である。

よって $最大 : t = \frac{π}{4}, Q = (e, e)$ $最小 : t = \frac{3 π}{4}, Q = (e, e)$ である。

東北大学 1994年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

東北大学 1994年度
後期・理系数学後期第3問