問題
放物線を考える．点を通り，傾きがの直線をとする．ただし，とする．
(1) 上の点における法線が直線と点で直交するとき，との座標を求めよ．
(2) 線分の長さを最大にするの値を求めよ．
出典：東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第5問
方針
放物線上の点を と置く。接線の傾きは で、法線が直線 と直交するので、 の傾き は接線の傾きと等しくなり が決まる。法線と の交点を解いて を求める。最後は を の関数にして、端点と臨界点で最大を判定する。
解答
(1)
放物線上の点 の 座標を とする。すると である。放物線の接線の傾きは であるから、点 における接線の傾きは である。
法線は接線に直交し、さらに問題ではその法線が直線 と直交するとある。したがって直線 の傾き は、接線の傾きと等しい。よって であり、 である。これを に代入すると である。
この点における法線の傾きは である。したがって法線の方程式は である。一方、直線 は である。この2直線の交点を とすると、連立して を得る。これを解くと である。よって
である。
(2)
(1)で得た から計算すると である。したがって の最大化は、この右辺の最大化と同じである。
与えられた範囲の端点は であり、これらは を満たす。したがって端点では である。
内部で微分する。 とおくと である。範囲内で であり、臨界点は および端点である。端点では で、 では となる。
また では 、 では である。したがって を最大にするのは である。