問題
次の問に答えよ．
(1) 白い玉を2個，黒い玉を2個，全部で4個の玉を円周上に並べる．このとき，同じ色の玉が隣りあわない確率を求めよ．
(2) 赤い玉を2個，青い玉を2個，黄色い玉を2個，全部で6個の玉を円周上に並べる．このとき，同じ色の玉が隣りあわない確率を求めよ．
方針
円周上の並べ方は、回転を区別するかどうかで全体数も有利数も同じ倍率で変わるため、固定した位置に色を入れる数え方でよい。(1)は白の位置を選ぶ6通りのうち交互配置2通り。(2)は全配置 から、同色が隣り合う事象を包除原理で除く。各色の隣接、2色の隣接、3色の隣接を円周の辺で数える。
解答
(1)
円周上の4つの位置を固定して、そこへ白2個、黒2個を入れると考える。全体の色の配置は 通りである。
同じ色が隣りあわないためには、白と黒が交互に並ぶしかない。その配置は の2通りである。したがって求める確率は である。
(2)
赤、青、黄をそれぞれ と書く。円周上の6つの位置を固定して色を入れると、全体の配置は 通りである。
ここから、同じ色が隣り合う配置を包除原理で除く。まず、赤2個が隣り合う配置を数える。円周上には隣り合う位置の組が6組ある。そのうち1組を赤で埋めると、残り4位置に青2個、黄2個を入れるので 通りである。青、黄についても同じく36通りである。
次に、赤2個も青2個もそれぞれ隣り合う配置を数える。赤の隣接位置を1つ選ぶと6通りであり、それと頂点を共有しない隣接位置は3通りある。そこを青で埋めれば、残り2位置は黄で決まる。したがって 通りである。色の組は の3通りなので、2色について同時に隣り合う配置は合計で 通りである。
最後に、3色すべてがそれぞれ隣り合う配置を数える。円周上の6位置を3つの隣接組に分ける方法は または の2通りである。そこへ3色を割り当てる方法が 通りあるので 通りである。
包除原理より、同じ色が隣り合わない配置は 通りである。したがって求める確率は である。
別解。 は有利な配置を直接数えてもよい。まず赤2個の位置を、隣り合わないように選ぶ。円周上の6位置から隣り合わない2位置を選ぶ方法は 通りである。
このうち赤2個が向かい合う場合は3通りある。例えば赤が1番と4番にあると、残りの4位置に青2個を置く方法のうち、青も黄も隣り合わないものは4通りである。したがってこの場合は 通りである。
赤2個が向かい合わず、かつ隣り合わない場合は 通りある。例えば赤が1番と3番にあると、残り4位置への青2個の置き方で、青も黄も隣り合わないものは2通りである。したがってこの場合は 通りである。
よって有利な配置は 通りであり、確率は同じく である。