東北大学 1993年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

行列 $A = (a b - a b)$ によって定まる1次変換を $f$ とおき，原点 $O$ と異なる2点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ の $f$ による像を $P_{1}^{'}$ ， $P_{2}^{'}$ と表す． $O P_{1}$ と $O P_{2}$ ， $O P_{1}^{'}$ と $O P_{2}^{'}$ がそれぞれ，互いに直交するとき，次の問に答えよ．ただし， $x_{1} ≧ 0$ ， $y_{1} ≧ 0$ ， $a > b > 0$ とする．

(1) $O P_{1}$ と $x$ 軸のなす角 $θ$ $(0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})$ を求めよ．

(2) $O$ を中心とする半径1の円周上の点 $P$ の $f$ による像を $P^{'}$ とする． $O P^{'}$ の大きさの最大値と最小値を求めよ．

出典：東北大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

$P_{1}$ の方向を $(cos θ, sin θ)$ と置き、直交する $P_{2}$ の方向を $(- sin θ, cos θ)$ と取る。倍率は内積の0条件には影響しない。変換後の2つのベクトルの内積を計算すると $(b^{2} - a^{2}) cos 2 θ$ となり、 $a > b > 0$ から $θ = π /4$ が決まる。(2)は $(x - y) / 2$ 、 $(x + y) / 2$ を使って単位円上の最大最小に直す。

解答

(1)

$x_{1} ≧ 0$ 、 $y_{1} ≧ 0$ なので、 $O P_{1}$ の方向を $(cos θ, sin θ)$ とおくことができる。ただし $0 ≦ θ ≦ π /2$ である。 $O P_{2}$ は $O P_{1}$ と直交するので、向きとして $(- sin θ, cos θ)$ を取ればよい。長さの倍率は、変換後の内積が0であるかどうかには影響しない。

変換は $(x, y) \mapsto (a (x - y), b (x + y))$ である。したがって $(cos θ, sin θ)$ は $(a (cos θ - sin θ), b (cos θ + sin θ))$ に移る。また $(- sin θ, cos θ)$ は $(a (- sin θ - cos θ), b (- sin θ + cos θ))$ に移る。

これらの内積が0であるから

0 = a^{2} (cos θ - sin θ) (- sin θ - cos θ) + b^{2} (cos θ + sin θ) (cos θ - sin θ) = (b^{2} - a^{2}) (cos^{2} θ - sin^{2} θ) = (b^{2} - a^{2}) cos 2 θ

である。 $a > b > 0$ より $b^{2} - a^{2} \neq = 0$ なので $cos 2 θ = 0$ である。 $0 ≦ θ ≦ π /2$ より $θ = \frac{π}{4}$ である。

(2)

円周上の点 $P = (x, y)$ について $x^{2} + y^{2} = 1$ である。移った点を $P^{'}$ とすると $O P^{'} = (a (x - y), b (x + y))$ であるから $∣ O P^{'} ∣^{2} = a^{2} (x - y)^{2} + b^{2} (x + y)^{2}$ である。

ここで $p = \frac{x - y}{2}, q = \frac{x + y}{2}$ とおくと $p^{2} + q^{2} = x^{2} + y^{2} = 1$ であり、 $∣ O P^{'} ∣^{2} = 2 a^{2} p^{2} + 2 b^{2} q^{2}$ である。 $p^{2} + q^{2} = 1$ 、 $a > b > 0$ だから、最大は $p^{2} = 1$ 、 $q^{2} = 0$ のときで $∣ O P^{'} ∣_{m a x}^{2} = 2 a^{2}$ である。最小は $p^{2} = 0$ 、 $q^{2} = 1$ のときで $∣ O P^{'} ∣_{m i n}^{2} = 2 b^{2}$ である。

したがって $∣ O P^{'} ∣_{m a x} = 2 a, ∣ O P^{'} ∣_{m i n} = 2 b$ である。

東北大学 1993年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1993年度
後期・理系数学後期第2問