東北大学 1993年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

2つの数列 ${a_{k}}$ ， ${b_{k}}$ をそれぞれ

a_{k} = \frac{1}{k !} (k = 1, 2, \dots\dots)

b_{k} = \frac{1}{k ( k + 1 )} (k = 1, 2, \dots\dots)

と定める．また， $n = 1, 2, \dots\dots$ に対して

s_{n} = k = 1 \sum n (- 1)^{k} a_{k}, t_{n} = k = 1 \sum n b_{k}, u_{n} = k = 1 \sum n a_{k}

とおく．このとき，任意の $n$ について，次の(1)，(2)，(3)を証明せよ．

(1) $s_{n} < 0$

(2) $t_{n} < 1$

(3) $u_{n} < 2$

出典：東北大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は交代和を2項ずつ組にして、各組が負になることを使う。 $n$ が奇数なら最後に負の項が1つ残るだけなので、やはり全体は負である。(2)は $1/ (k (k + 1)) = 1/ k - 1/ (k + 1)$ の望遠和。(3)は $k! ≧ 2^{k - 1}$ を帰納法で確認し、 $u_{n}$ を初項1、公比 $1/2$ の有限等比和で上から押さえる。

解答

(1)

$s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k} \frac{1}{k !}$ である。2項ずつまとめると

- \frac{1}{( 2 m - 1 )!} + \frac{1}{( 2 m )!} = - \frac{2 m}{( 2 m )!} + \frac{1}{( 2 m )!} = - \frac{2 m - 1}{( 2 m )!} < 0

である。したがって、偶数番目までで区切った各組はすべて負である。 $n$ が偶数なら $s_{n}$ はこのような負の組の和であるから $s_{n} < 0$ である。 $n$ が奇数なら、最後に $- \frac{1}{n !} < 0$ がさらに残るので、やはり $s_{n} < 0$ である。よって任意の $n$ について $s_{n} < 0$ が成り立つ。

(2)

$b_{k} = \frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ である。したがって

t_{n} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1}

である。よって $t_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1$ である。

(3)

まず $k! ≧ 2^{k - 1}$ を用いる。これは $k = 1$ で成り立ち、 $k ≧ 1$ から $(k + 1)! = (k + 1) k! ≧ 2 k! ≧ 2 \cdot 2^{k - 1} = 2^{k}$ となるので、帰納法で成り立つ。

したがって $a_{k} = \frac{1}{k !} ≦ \frac{1}{2 ^{k - 1}}$ である。よって

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k !} ≦ k = 1 \sum n \frac{1}{2 ^{k - 1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{2 ^{n - 1}} = 2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}} < 2

である。したがって任意の $n$ について $u_{n} < 2$ が成り立つ。

東北大学 1993年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1993年度
後期・理系数学後期第1問