問題
関数を考える．
(1) の極値と，軸および軸との交点を求め，のグラフの概形をかけ．
(2) を実数とする．直線がと接し，しかもその接点の座標が整数となるようにの値を定めよ．
(3) が(2)で定められた値のとき，不等式
を満たす点の全体が作る図形の面積を求めよ．
出典：東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
(1)は から増減表を作り、さらに で軸との交点を出す。(2)は接線の傾きが なので を解き、接点の座標が整数になるものだけを残す。(3)は の直線と曲線の差を因数分解し、非負になる区間で積分する。
解答
(1)
である。微分すると である。したがって臨界点は である。
符号を調べると、 は
である。よって で極小、 で極大である。値は である。
また なので、 軸との交点は である。 軸との交点は である。グラフは 軸に関して対称で、両端は上に向かい、 に谷、 に山をもつ概形である。
(2)
直線 が曲線に接する接点の 座標を とする。接線の傾きが なので である。すなわち であり、 である。因数分解すると である。
接点の座標が整数であるためには、少なくとも は整数である。上の方程式の整数解は だけである。このとき なので、接点は である。直線 がこの点を通るから であり、 である。
(3)
のとき、直線は である。曲線との差は
である。これは であり、さらに である。
したがって、直線が曲線の上にある区間は すなわち である。求める面積は である。 とおくと であり、積分区間は となる。よって
である。奇関数の部分は積分すると0になるので である。したがって
である。