東北大学 1992年度
後期・理系数学 後期 第5問

解答

(1)

曲線を $y=y(x)$ と見る。点 $P(x,y)$ における接線の傾きを $y^{\prime }$ とする。このとき法線が $x$ 軸と交わる点を $Q$ とすると，法線の傾きは $-1/y^{\prime }$ であるから $Q=(x+y{y}^{\prime },0)$ である。なお $y^{\prime }=0$ の場合も，法線は垂直線となり，同じ式で $Q=(x,0)$ を与える。

したがって線分 $PQ$ の中点 $M$ は $M=\left(x+\frac{y{y}^{\prime }}{2},\frac{y}{2}\right)$ である。この点が常に放物線 $x=4y^2+1$ の上にあるので $x+\frac{y{y}^{\prime }}{2}=4{\left(\frac{y}{2}\right)}^2+1=y^2+1$ である。よって $y{y}^{\prime }=2(y^2+1-x)$ を得る。

ここで $y=e^{2x}f(x)$ だから $y^{\prime }=e^{2x}\{2f(x)+f^{\prime }(x)\}$ である。したがって $y{y}^{\prime }=e^{4x}f(x)\{2f(x)+f^{\prime }(x)\}=2e^{4x}f(x{)}^2+e^{4x}f(x)f^{\prime }(x)$ であり，また $y^2=e^{4x}f(x{)}^2$ である。これらを $y{y}^{\prime }=2(y^2+1-x)$ に代入すると $2e^{4x}f(x{)}^2+e^{4x}f(x)f^{\prime }(x)=2e^{4x}f(x{)}^2+2(1-x)$ となる。両辺の $2e^{4x}f(x{)}^2$ を消して $\boxed{f(x)f^{\prime }(x)=2(1-x)e^{-4x}}$ を得る。

(2)

(1)の式から $(f(x{)}^2{)}^{\prime }=2f(x)f^{\prime }(x)=4(1-x)e^{-4x}$ である。ここで

であるから $f(x{)}^2=\left(x-\frac{3}{4}\right)e^{-4x}+C$ と書ける。

曲線が $(1,1/2)$ を通るので $\frac{1}{2}=e^{2}f(1)$ であり，$f(1{)}^2=\frac{1}{4e^4}$ である。一方，$f(1{)}^2=\left(1-\frac{3}{4}\right)e^{-4}+C=\frac{1}{4e^4}+C$ だから $C=0$ である。したがって $f(x{)}^2=\left(x-\frac{3}{4}\right)e^{-4x}$ である。

もとの曲線は $y=e^{2x}f(x)$ なので $y^2=e^{4x}f(x{)}^2=x-\frac{3}{4}$ である。曲線は第1象限内にあるから $y>0$ であり，求める曲線は $\boxed{y=\sqrt{x-\frac{3}{4}}\left(x>\frac{3}{4}\right)}$ である。