東北大学 1992年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

絶対値の中身は $6x-8$ であるから，$x=4/3$ で場合分けする。 $x\leqq 4/3$ のとき，$|6x-8|=8-6x$ なので $f(x)=\frac{x^2+1+8-6x}{2(x^2+1)}=\frac{(x-3{)}^2}{2(x^2+1)}$ である。微分すると $f^{\prime }(x)=\frac{(x-3)(3x+1)}{(x^2+1{)}^2}$ である。 $x\geqq 4/3$ のとき，$|6x-8|=6x-8$ なので $f(x)=\frac{x^2+1+6x-8}{2(x^2+1)}=\frac{x^2+6x-7}{2(x^2+1)}$ である。微分すると $f^{\prime }(x)=-\frac{(x-3)(3x+1)}{(x^2+1{)}^2}$ である。

増減を調べる。$x\leqq 4/3$ では，$x=-1/3$ で導関数の符号が正から負に変わるので極大である。また，$x=4/3$ の左側では $f^{\prime }(x)<0$ であり，右側では $f^{\prime }(x)>0$ だから，$x=4/3$ は極小である。$x\geqq 4/3$ では，$x=3$ で導関数の符号が正から負に変わるので極大である。

値を計算すると $f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{(-10/3{)}^2}{2(1/9+1)}=5,$ $f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{(4/3-3{)}^2}{2(16/9+1)}=\frac{1}{2},$ $f(3)=\frac{9+18-7}{2(9+1)}=1$ である。したがって極値は

である。