東北大学 1992年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$a_{1} ≧ a_{2} ≧ \dots\dots ≧ a_{n}$ ， $b_{1} ≧ b_{2} ≧ \dots\dots ≧ b_{n}$ のとき，次の不等式を証明せよ．

(i = 1 \sum n a_{i}) (i = 1 \sum n b_{i}) ≦ n i = 1 \sum n a_{i} b_{i}

出典：東北大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

同じ順に並んだ二つの数列では，任意の二つの番号 $i, j$ について $(a_{i} - a_{j}) (b_{i} - b_{j}) ≧ 0$ が成り立つ。これをすべての $i, j$ について足し合わせると，左辺が目標の不等式そのものに整理される。和の展開では $\sum_{i, j} a_{i} b_{i} = n \sum_{i} a_{i} b_{i}$ と $\sum_{i, j} a_{i} b_{j} = (\sum_{i} a_{i}) (\sum_{j} b_{j})$ を使う。

解答

$a_{1} ≧ a_{2} ≧ \dots ≧ a_{n}$ ， $b_{1} ≧ b_{2} ≧ \dots ≧ b_{n}$ である。したがって，任意の $i, j$ について， $a_{i} - a_{j}$ と $b_{i} - b_{j}$ は同じ符号をもつか，少なくとも一方が0である。よって $(a_{i} - a_{j}) (b_{i} - b_{j}) ≧ 0$ である。

これをすべての $i, j$ について足し合わせると $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (a_{i} - a_{j}) (b_{i} - b_{j}) ≧ 0$ である。左辺を展開すると

i = 1 \sum n j = 1 \sum n (a_{i} - a_{j}) (b_{i} - b_{j}) = i, j \sum a_{i} b_{i} - i, j \sum a_{i} b_{j} - i, j \sum a_{j} b_{i} + i, j \sum a_{j} b_{j} .

ここで

i, j \sum a_{i} b_{i} = n i = 1 \sum n a_{i} b_{i}, i, j \sum a_{j} b_{j} = n i = 1 \sum n a_{i} b_{i}

であり，また

i, j \sum a_{i} b_{j} = (i = 1 \sum n a_{i}) (j = 1 \sum n b_{j})

である。同様に $\sum_{i, j} a_{j} b_{i}$ も同じ値である。したがって

i, j \sum (a_{i} - a_{j}) (b_{i} - b_{j}) = 2 n i = 1 \sum n a_{i} b_{i} - 2 (i = 1 \sum n a_{i}) (i = 1 \sum n b_{i})

である。

左辺は0以上だから

2 n i = 1 \sum n a_{i} b_{i} - 2 (i = 1 \sum n a_{i}) (i = 1 \sum n b_{i}) ≧ 0

となる。よって

(i = 1 \sum n a_{i}) (i = 1 \sum n b_{i}) ≦ n i = 1 \sum n a_{i} b_{i}

が示された。

東北大学 1992年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

東北大学 1992年度
後期・理系数学後期第2問