東北大学 1992年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において， $x y$ 平面に点 $(0, 1, 0)$ を中心とする半径1の円 $C_{1}$ と， $y z$ 平面に点 $(0, 0, 0)$ を中心とする半径1の円 $C_{2}$ がある． $C_{1}$ 上の点 $P$ と $C_{2}$ 上の点 $Q$ が，それぞれ点 $(0, 2, 0)$ ， $(0, 0, 1)$ を出発点として $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上を正の向きに動く．点 $P$ が点 $Q$ の2倍の速さで動くとき，点 $P$ ， $Q$ 間の距離の最大値を求めよ．

出典：東北大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

円上の動きを角度で表す。点 $Q$ の角度を $u$ とすると，点 $P$ は2倍の速さで動くので角度を $2 u$ としてよい。座標を $P = (sin 2 u, 1 + cos 2 u, 0)$ ， $Q = (0, sin u, cos u)$ と置き， $P Q^{2}$ を $s = sin u$ だけの3次式に整理する。距離の最大は $P Q^{2}$ の最大と同じなので， $- 1 ≦ s ≦ 1$ で微分して最大値を求める。

解答

点 $Q$ の動く角を $u$ とおく。点 $Q$ は $y z$ 平面の単位円上で $(0, 0, 1)$ から出発するので $Q = (0, sin u, cos u)$ と表せる。

点 $P$ は点 $Q$ の2倍の速さで動く。 $P$ は $x y$ 平面の，中心 $(0, 1, 0)$ ，半径1の円上で $(0, 2, 0)$ から出発するから $P = (sin 2 u, 1 + cos 2 u, 0)$ と表せる。

距離の二乗を計算する。 $s = sin u$ とおくと $cos^{2} u = 1 - s^{2}$ ， $cos 2 u = 1 - 2 s^{2}$ ， $sin^{2} 2 u = 4 s^{2} (1 - s^{2})$ である。したがって

P Q^{2} = (sin 2 u)^{2} + (1 + cos 2 u - sin u)^{2} + (0 - cos u)^{2} = 4 s^{2} (1 - s^{2}) + (2 - 2 s^{2} - s)^{2} + (1 - s^{2}) = 4 s^{3} - 4 s^{2} - 4 s + 5.

ここで $- 1 ≦ s ≦ 1$ である。 $g (s) = 4 s^{3} - 4 s^{2} - 4 s + 5$ とおくと $g^{'} (s) = 12 s^{2} - 8 s - 4 = 4 (s - 1) (3 s + 1)$ である。区間 $[- 1, 1]$ での候補は $s = - 1$ ， $s = - 1/3$ ， $s = 1$ である。値は $g (- 1) = 1, g (1) = 1, g (- \frac{1}{3}) = \frac{155}{27}$ である。よって $P Q^{2}$ の最大値は $155/27$ である。

したがって距離 $P Q$ の最大値は $\frac{155}{27} = \frac{465}{9}$ である。

東北大学 1992年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

東北大学 1992年度
後期・理系数学後期第3問