東北大学 1991年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とし， $n$ を正の整数とする．

(1) $\frac{na}{π}$ を越えない最大の整数を $m$ とするとき

2 m ≦ \int_{0}^{na} ∣ sin x ∣ d x < 2 (m + 1)

が成り立つことを示せ．

(2) $n \to \infty lim \int_{0}^{a} ∣ sin n x ∣ d x$ を求めよ．

出典：東北大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

$∣ sin x ∣$ は周期 $π$ で、1周期分の面積は $2$ である。 $m ≦ na / π < m + 1$ なので、区間 $[0, na]$ には完全な周期が $m$ 個入り、残りは1周期未満で面積が $0$ 以上 $2$ 未満になる。(2)は $u = n x$ と置いて(1)の評価を $n$ で割り、 $m / n \to a / π$ を使う。

解答

(1)

$∣ sin x ∣$ は周期 $π$ の関数である。また1周期分の面積は $\int_{0}^{π} sin x d x = 2$ である。 $m$ は $na / π$ を越えない最大の整数なので $m ≦ \frac{na}{π} < m + 1$ である。したがって $mπ ≦ na < (m + 1) π$ である。

区間 $[0, mπ]$ には $∣ sin x ∣$ の完全な周期が $m$ 個入るので $\int_{0}^{mπ} ∣ sin x ∣ d x = 2 m$ である。また残りの区間 $[mπ, na]$ は長さが $π$ 未満であり、その上での面積は0以上、1周期分の面積2未満である。よって $0 ≦ \int_{mπ}^{na} ∣ sin x ∣ d x < 2$ である。

したがって $2 m ≦ \int_{0}^{na} ∣ sin x ∣ d x < 2 m + 2 = 2 (m + 1)$ である。よって $2 m ≦ \int_{0}^{na} ∣ sin x ∣ d x < 2 (m + 1)$ が示された。

(2)

$u = n x$ とおくと $d u = n d x$ であるから $\int_{0}^{a} ∣ sin n x ∣ d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{na} ∣ sin u ∣ d u$ である。

(1)より $\frac{2 m}{n} ≦ \int_{0}^{a} ∣ sin n x ∣ d x < \frac{2 ( m + 1 )}{n}$ である。また $m ≦ \frac{na}{π} < m + 1$ を $n$ で割ると $\frac{m}{n} ≦ \frac{a}{π} < \frac{m + 1}{n}$ である。したがって

n \to \infty lim \frac{m}{n} = \frac{a}{π}, n \to \infty lim \frac{m + 1}{n} = \frac{a}{π}

である。

よってはさみうちにより $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{a} ∣ sin n x ∣ d x = \frac{2 a}{π}$ である。したがって $\frac{2 a}{π}$ を得る。

東北大学 1991年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1991年度
後期・理系数学後期第5問