東北大学 1991年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

(1)

まず $a_n$ を求める。$a_n=p^{{\alpha }_n}$ とおくと、$a_1=p^2$ より ${\alpha }_1=2$ である。また $a_{n+1}=\sqrt{p{a}_n}$ より ${\alpha }_{n+1}=\frac{1+{\alpha }_n}{2}$ である。したがって ${\alpha }_{n+1}-1=\frac{1}{2}({\alpha }_n-1)$ であり、${\alpha }_1-1=1$ だから ${\alpha }_n-1=\frac{1}{2^{n-1}}$ である。よって $\boxed{a_n=p^{1+1/2^{n-1}}}$ である。

次に $b_n$ を求める。$b_n=2^{{\beta }_n}{p}^{{\gamma }_n}$ とおく。$b_1=2/p$ より ${\beta }_1=1,{\gamma }_1=-1$ である。また $b_{n+1}=\sqrt{\frac{b_n}{2^n}}$ なので

である。後者から ${\gamma }_n=-\frac{1}{2^{n-1}}$ である。前者については、${\beta }_n=2-n$ が成り立つ。実際、$n=1$ で $1=2-1$ であり、${\beta }_n=2-n$ なら ${\beta }_{n+1}=\frac{2-n-n}{2}=1-n=2-(n+1)$ となる。よって $\boxed{b_n=2^{2-n}{p}^{-1/2^{n-1}}}$ である。

(2)

(1)より $a_n{b}_n=p^{1+1/2^{n-1}}\cdot 2^{2-n}{p}^{-1/2^{n-1}}=p{2}^{2-n}$ である。したがって $\sqrt{a_n{b}_n}=\sqrt{p}{2}^{1-n/2}$ である。

よって ${\sum }_{n=1}^{\infty }\sqrt{a_n{b}_n}=\sqrt{p}{\sum }_{n=1}^{\infty }{2}^{1-n/2}$ である。この和は初項 $\sqrt{2}$、公比 $1/\sqrt{2}$ の等比級数なので ${\sum }_{n=1}^{\infty }{2}^{1-n/2}=\frac{\sqrt{2}}{1-1/\sqrt{2}}=2(1+\sqrt{2})$ である。したがって条件は $2(1+\sqrt{2})\sqrt{p}=1$ である。よって $\sqrt{p}=\frac{1}{2(1+\sqrt{2})}$ であり

である。