東北大学 1991年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

$P^3=E$ であるから、$P$ に対応する1次変換 $f$ は、$f$ を3回行うと元に戻る。したがって、もし $f(U)=f(V)$ なら、両辺にさらに $f$ を2回行って $U=V$ となる。つまり異なる点が同じ点へ移ることはない。

点 $A,B,C$ は相異なるので、$f(A),f(B),f(C)$ も相異なる。よって $\boxed{f(A),f(B),f(C)\text{ は相異なる}}$ である。

(2)

(1)より、$f(A),f(B),f(C)$ は $A,B,C$ の並べ替えである。

もし、たとえば $f(A)=A$ であるとする。このとき残りの $B,C$ は、どちらも動かないか、互いに入れ替わるかのどちらかである。もし $B,C$ も動かないなら、$A(1,0)$ と $B(0,2)$ は動かない。$A,B$ は平面の基準になる2方向を与えているので、この場合は $P=E$ となり、条件 $P\ne E$ に反する。

一方、$B,C$ が入れ替わるなら $f(B)=C,f(C)=B$ である。このとき $f^3(B)=f(B)=C$ となるが、$P^3=E$ だから $f^3(B)=B$ でなければならない。これは $B\ne C$ に反する。

したがって $f(A)=A$ は不可能である。同じ議論は $B,C$ についても成り立つ。よって $\boxed{f(A)\ne A,f(B)\ne B,f(C)\ne C}$ である。

(3)

(1)(2)より、3点は巡回する。可能性は $A\to B\to C\to A$ または $A\to C\to B\to A$ の2通りである。

まず $A\to B\to C\to A$ の場合を考える。行列を

とする。$A=(1,0)$ が $B=(0,2)$ に移るので、第1列は

である。また $B=(0,2)$ が $C=(a,b)$ に移るので、第2列は

である。したがって

である。さらに $C$ が $A$ に移るので

である。すなわち $\frac{ab}{2}=1,2a+\frac{b^2}{2}=0$ である。これより $ab=2,4a+b^2=0$ である。$a=2/b$ を代入して $\frac{8}{b}+b^2=0$ だから $b^3=-8$ である。よって $b=-2,a=-1$ である。このとき

である。

次に $A\to C\to B\to A$ の場合を考える。$A$ が $C$ に移るので第1列は $(a,b)$、$B$ が $A$ に移るので第2列は $(1/2,0)$ である。したがって

である。さらに $C$ が $B$ に移るので

である。すなわち $a^2+\frac{b}{2}=0,ab=2$ である。$b=2/a$ を代入すると $a^2+\frac{1}{a}=0$ であり $a^3=-1$ だから $a=-1,b=-2$ である。このとき

である。

以上より

または

である。