東北大学 1991年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

2つの楕円

C_{1} : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, C_{2} : \frac{x ^{2}}{b ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1

に関して次の問に答えよ．ただし $a > b > 0$ とする．

(1) 第1象限にある $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の $x$ 座標を $b cos γ$ $(0 < γ < \frac{π}{2})$ とするとき， $cos γ$ ， $sin γ$ を $a$ と $b$ で表せ．

(2) $C_{1}$ の内部と $C_{2}$ の内部の共通部分の面積を $a$ ， $b$ ， $γ$ の整式で表せ．

出典：東北大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

2つの楕円の交点は、方程式を引くと第1象限では $x = y$ になる。指定に合わせて $x = b cos γ$ 、 $y = a sin γ$ と置けば、 $C_{1}$ への代入から $cos γ$ 、 $sin γ$ が出る。面積は第1象限で、交点より左は $C_{1}$ の下、右は $C_{2}$ の下を積分し、最後に4倍する。

解答

(1)

第1象限の交点を $(x, y)$ とする。2つの楕円の方程式を引くと

(\frac{1}{a ^{2}} - \frac{1}{b ^{2}}) x^{2} + (\frac{1}{b ^{2}} - \frac{1}{a ^{2}}) y^{2} = 0

である。 $a > b > 0$ なので係数は0ではなく、整理して $x^{2} = y^{2}$ を得る。第1象限だから $x = y$ である。

問題では交点の $x$ 座標を $x = b cos γ$ としている。 $C_{2}$ 上では $y = a sin γ$ と表せるので、交点では $b cos γ = a sin γ$ である。さらに $sin^{2} γ + cos^{2} γ = 1$ を用いると

cos γ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, sin γ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}

である。したがって

cos γ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, sin γ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}

である。

(2)

第1象限での共通部分の面積を求める。交点の $x$ 座標は $x_{0} = b cos γ = a sin γ$ である。 $0 ≦ x ≦ x_{0}$ では $C_{1}$ の方が下側にあり、 $x_{0} ≦ x ≦ b$ では $C_{2}$ の方が下側にある。よって第1象限の共通部分の面積を $S_{1}$ とすると

S_{1} = \int_{0}^{x_{0}} b 1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}} d x + \int_{x_{0}}^{b} a 1 - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} d x

である。

第1の積分では $x = a sin θ$ とおく。 $x = 0$ で $θ = 0$ 、 $x = x_{0} = a sin γ$ で $θ = γ$ であるから

\int_{0}^{x_{0}} b 1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}} d x = ab \int_{0}^{γ} cos^{2} θ d θ

である。

第2の積分では $x = b cos θ$ とおく。 $x = x_{0} = b cos γ$ で $θ = γ$ 、 $x = b$ で $θ = 0$ であるから

\int_{x_{0}}^{b} a 1 - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} d x = ab \int_{0}^{γ} sin^{2} θ d θ

である。したがって $S_{1} = ab \int_{0}^{γ} (cos^{2} θ + sin^{2} θ) d θ = abγ$ である。

図形は4つの象限に対して対称なので、求める面積は $4 abγ$ である。

東北大学 1991年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1991年度
後期・理系数学後期第3問