東北大学 1991年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

共通接線 $l$ の傾きを $m$ とする。問題より $m>0$ である。

放物線 $C_1:y=a{x}^2+\frac{1}{3a^3}$ 上で傾きが $m$ となる点の $x$ 座標を $p$ とすると $2ap=m$ だから $p=\frac{m}{2a}$ である。この点における接線の $y$ 切片は

である。

同じ直線が $C_2:y=b{x}^2+\frac{1}{3b^3}$ にも接するので、切片が等しく $-\frac{m^2}{4a}+\frac{1}{3a^3}=-\frac{m^2}{4b}+\frac{1}{3b^3}$ である。これを整理する。 $\frac{m^2}{4}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{3b^3}-\frac{1}{3a^3}$ であるから

である。$a\ne b$ より $m^2=\frac{4(a^2+ab+b^2)}{3a^2{b}^2}$ である。$m>0$ なので $m=\frac{2\sqrt{a^2+ab+b^2}}{\sqrt{3}ab}$ である。

したがって $p=\frac{m}{2a}=\frac{\sqrt{3}\sqrt{a^2+ab+b^2}}{3a^{2}b}$ である。また

である。よって

である。

(2)

$b\to a$ とすると $X={\lim }_{b\to a}p=\frac{\sqrt{3}\sqrt{3a^2}}{3a^3}=\frac{1}{a^2}$ である。また $Y={\lim }_{b\to a}q=\frac{4a^2}{3a^5}=\frac{4}{3a^3}$ である。

ここで $a>0$ なので $X=1/a^2>0$ であり $\frac{1}{a}=\sqrt{X}$ である。したがって $Y=\frac{4}{3a^3}=\frac{4}{3}{\left(\frac{1}{a}\right)}^3=\frac{4}{3}{X}^{3/2}$ である。よって

である。

(3)

(2)より、点 $(X,Y)$ は $Y=\frac{4}{3}{X}^{3/2},X>0$ を満たす。したがって曲線は第1象限にあり、$X\to 0+$ で $Y\to 0+$、$X\to \infty$ で $Y\to \infty$ となる。さらに $\frac{dY}{dX}=2\sqrt{X}>0$ なので増加し、傾きは原点に近づくほど0に近づく。概形は、原点に右側から接するように近づき、第1象限で増加して上に伸びる曲線である。