東北大学 1990年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

記号＋と－を重複を許し1列に並べてできる列のうち，同じ記号は3つ以上連続して並ばないものを考える．＋と－という記号を全部で $n$ 個 $(n ≧ 2)$ 使ってつくられるこのような列のうち，最後が＋＋または－－で終わる列の個数を $a_{n}$ とおき，最後が＋－または－＋で終わる列の個数を $b_{n}$ とおく．

(1) $a_{n + 1}$ と $b_{n + 1}$ を $a_{n}$ と $b_{n}$ で表せ．

(2) ${a_{n} + r b_{n}}$ が公比 $r$ の等比数列となるような $r$ の値をすべて求めよ．

(3) 長さが $n$ のこのような列の個数 $a_{n} + b_{n}$ を，(2)で求めた $r$ の値を使って表せ．

出典：東北大学 1990年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

列の最後2文字だけで状態を分ける。最後が同じ2文字なら次は反対の記号しか置けず、最後が異なる2文字なら次の記号によって2つの状態に分かれる。これで $a_{n}, b_{n}$ の連立漸化式を作る。(2)は $a_{n} + r b_{n}$ が1本の等比数列になる条件を係数比較で求め、(3)は2つの値の $r$ についてできる式を連立して $a_{n} + b_{n}$ を取り出す。

解答

(1)

最後が $+ +$ または $- -$ で終わる列には、同じ記号をさらに付けることはできない。したがって次の1個は必ず反対の記号であり、長さ $n + 1$ では最後が異なる2文字で終わる。

一方、最後が $+ -$ または $- +$ で終わる列には、最後と同じ記号を付ければ最後が同じ2文字になり、最後と反対の記号を付ければ最後が異なる2文字になる。よって $a_{n + 1} = b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ である。

(2)

$a_{n + 1} + r b_{n + 1} = b_{n} + r (a_{n} + b_{n}) = r a_{n} + (r + 1) b_{n}$ である。これが公比 $r$ の等比数列になるには $a_{n + 1} + r b_{n + 1} = r (a_{n} + r b_{n}) = r a_{n} + r^{2} b_{n}$ が必要である。したがって $r + 1 = r^{2}$ すなわち $r^{2} - r - 1 = 0$ である。よって $r = \frac{1 + 5}{2}, r = \frac{1 - 5}{2}$ である。

(3)

$α = \frac{1 + 5}{2}, β = \frac{1 - 5}{2}$ とおく。長さ2の列では $a_{2} = 2, b_{2} = 2$ であるから $a_{2} + α b_{2} = 2 + 2 α = 2 α^{2}$ である。したがって $a_{n} + α b_{n}$ は公比 $α$ の等比数列なので $a_{n} + α b_{n} = 2 α^{n}$ である。同様に $a_{n} + β b_{n} = 2 β^{n}$ である。

この2式を引くと $(α - β) b_{n} = 2 (α^{n} - β^{n})$ であり、 $α - β = 5$ だから $b_{n} = \frac{2 ( α ^{n} - β ^{n} )}{5}$ である。また、上の2式から総数を直接取り出すと $a_{n} + b_{n} = \frac{2 ( α ^{n + 1} - β ^{n + 1} )}{5}$ となる。よって求める個数は

\frac{2}{5} ⎩ ⎨ ⎧ (\frac{1 + 5}{2})^{n + 1} - (\frac{1 - 5}{2})^{n + 1} ⎭ ⎬ ⎫

である。

別解。総数 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ だけを見ると、長さ $n$ の列の末尾に1個を付け加えるとき、長さ $n - 1$ の末尾と同じ記号を続けられない場合だけを除くことで $c_{n + 1} = c_{n} + c_{n - 1}$ が得られる。初期値は $c_{1} = 2$ 、 $c_{2} = 4$ であり、(2)で得た2つの数 $α, β$ がこの漸化式の解を作るため、同じ表示式に戻る。

東北大学 1990年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1990年度
理系数学前期第6問