問題
を正の整数とし，曲線を考える．
(1) の概形をかけ．
(2) 実数 をとり，直線，曲線，および軸で囲まれた図形の面積をとする．ととで表せ．
(3) 負の傾きをもつの接線で，原点を通るものをとする．(2)のがの接点の座標となるとき，を求めよ．
出典：東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
まず と見て、定義域、縦の漸近線、零点を押さえて概形を描く。(2)は左側の枝で と置換し、面積を で表す。(3)は接線が原点を通る条件を、接点の座標と傾きから式にし、そこで得た を面積式へ代入する。
解答
(1)
である。したがって定義域は であり、直線 は縦の漸近線である。また となるのは のときで、 である。さらに なので、 では減少し、 では増加する。以上より、2つの枝は漸近線 の両側で下に落ち込み、左の枝は を通って左へ上がり、右の枝は を通って右へ上がる。
(2)
とする。この範囲では であり、曲線は 軸の上にある。そこで とおくと である。置換 を用いると、 のとき 、 のとき 、また である。したがって面積 は である。よって である。すなわち である。
(3)
左側の枝上の接点の 座標を とし、(2)と同じく とおく。接点の 座標は であり、接線の傾きは である。接線が原点を通るので、接点における 座標は「傾き 」に等しい。したがって である。ここで だから となり、 を得る。
これを(2)の面積式に代入すると である。