問題
空間における球面
について考える．
(1) 球面上の点を通り，球面に接する平面の方程式を求めよ．
(2) 平面上の点を，を中心とする半径1の球面がと交わるように動かす．点と点とを結んでできる線分全体がつくる立体（を頂点とする錐体）をとする．の体積を求めよ．
出典：東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
(1)は球の中心と接点を結ぶ半径が接平面に垂直であることから平面を決める。(2)では、 が接平面上にあるため、中心 、接点 、点 の三角形が直角になる。半径1の球面と半径13の球面が交わる条件を中心間距離で表し、 の動ける範囲を平面上の円板として求める。最後に頂点 から平面までの距離を高さにする。
解答
(1)
球面 の中心を とすると であり、半径は である。また なので、原点 は確かに球面上にある。接平面は半径 に垂直だから、法線ベクトルは である。原点を通るので、求める平面は である。
(2)
は平面 上にあるので、 は法線方向 と垂直である。したがって三平方の定理より である。
中心 、半径1の球面が、中心 、半径13の球面 と交わるためには、中心間距離が を満たせばよい。ここでは がすでに成り立つので、必要十分条件は である。よって すなわち である。したがって の動く範囲は、平面 上で中心 、半径 の円板であり、その面積は である。
次に、頂点 から平面 までの距離を求める。平面の法線の長さは であり、 だから、高さは である。よって錐体 の体積は である。