問題
はで正の値をとる連続関数で，次の関係式を満たすものとする．
(1) を求めよ．
(2) とおく．での満たす微分方程式を求めよ．
(3) を満たすを求めよ．
出典：東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
積分方程式は、まず で割って の極限を取ることで を決める。次に と置けば右辺が になり、両辺を微分して1階微分方程式を得る。分離して解き、最後に から定数を決める。正値性により平方根は正の枝だけを使う。
解答
(1)
与式は である。 で両辺を で割ると となる。 は連続で正の値をとるので、 とすると左辺は 、右辺は に近づく。したがって である。 より である。
(2)
とおく。すると であり、与式は となる。左辺は微分すると 、右辺は微分すると である。よって で すなわち である。
(3)
(2)の微分方程式を と分離する。ただし の定数解も、以下の式で定数を とする場合に含まれる。部分分数に直すと であるから となる。したがって、ある定数 を用いて と書ける。これを解くと である。
条件 より、 であることに注意して である。したがって より である。よって であり、求める関数は である。