東北大学 1990年度
理系数学 前期 第4問

解答

各回について、勝敗に関係しない目は $2,3,4$ の3個なので、その確率は $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ である。また、勝ちを決める目 $1$ が出る確率は $\frac{1}{6}$、負けを決める目 $5,6$ が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ である。

勝つのは、最初の $j$ 回 $(j=0,1,2,3,4)$ はすべて $2,3,4$ のいずれかで、$j+1$ 回目に1が出る場合である。したがって勝つ確率は

である。

同様に、負ける確率は

である。

引き分けは、5回すべてで $1,5,6$ が出ない場合である。よって ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$ である。実際 $\frac{31}{96}+\frac{31}{48}+\frac{1}{32}=1$ となり、全場合を尽くしている。

別解。5回以内に $1,5,6$ のどれかが出る確率は $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{31}{32}$ である。その最初の目が $1$ である条件付き確率は、$1,5,6$ の3つのうち1つなので $\frac{1}{3}$、最初の目が $5$ または $6$ である条件付き確率は $\frac{2}{3}$ である。したがって勝ちは $\frac{31}{32}\cdot \frac{1}{3}=\frac{31}{96}$、負けは $\frac{31}{32}\cdot \frac{2}{3}=\frac{31}{48}$ で、残りが引き分け $\frac{1}{32}$ である。